Calcule, se existir, o limite de
no ponto
.
◯ 0
◯ Não existe.
◯ 1
◯ 5/2
◯ 0
◯ Não existe.
◯ 1
◯ 5/2
Passo 1
O enunciado pede: calcular, se existir, o limite da função
quando
.
Informações dadas:
- A função é
. - O ponto de interesse é
. - Queremos saber se
existe e, em caso afirmativo, qual é o seu valor.
Passo 2
Primeiro faço uma verificação por caminhos simples para ter um palpite do valor do limite.
Caminho 1: ao longo de
(com
):
Portanto, ao aproximar
com
,
Caminho 2: ao longo de
(com
):
Assim,
Esses dois caminhos já sugerem que o limite pode ser
. Agora vamos provar rigorosamente que o limite existe e é
.
Passo 3
Vou mostrar que
quando
manipulando
. Calculo:
Simplifico o numerador:
Portanto
Passo 4
Agora testo o comportamento dessa fração quando
. É conveniente fazer a mudança
e
, com
. Substituindo:
O numerador fica
Desenvolvendo:
O denominador é
Passo 5
Note que o numerador é uma soma de termos que tendem a
quando
(cada termo tem fator
ou
), logo o numerador tende a
. O denominador tende a
quando
. Como a função formada pela razão é uma combinação de polinômios contínuos e o denominador não se anula no ponto-limite (limita para
), segue que
Isto é,
Daqui segue que
Passo 6
Resumo intuitivo: ao aproximar
de
o numerador e denominador de
comportam-se de forma que a diferença tende a zero enquanto o denominador tende a
. Verificações por caminhos simples (como
e
) dão o mesmo valor
, e a manipulação algébrica acima é uma prova geral do limite.
Resposta
1