Calcule, se existir, o limite de f(x, y)=\frac{x y^{2}-x^{3}}{x^{2}+y^{2}} no ponto (-1,0).
◯ 0
◯ Não existe.
◯ 1
◯ 5/2

Passo 1

O enunciado pede: calcular, se existir, o limite da função f(x,y)=\dfrac{x y^{2}-x^{3}}{x^{2}+y^{2}} quando (x,y)\to(-1,0).
Informações dadas:
  • A função é f(x,y)=\dfrac{x y^{2}-x^{3}}{x^{2}+y^{2}}.
  • O ponto de interesse é (-1,0).
  • Queremos saber se \lim_{(x,y)\to(-1,0)} f(x,y) existe e, em caso afirmativo, qual é o seu valor.

Passo 2

Primeiro faço uma verificação por caminhos simples para ter um palpite do valor do limite.
Caminho 1: ao longo de y=0 (com x\to-1):
f(x,0)=\frac{x\cdot 0^{2}-x^{3}}{x^{2}+0^{2}}=\frac{-x^{3}}{x^{2}}=-x\quad (x\neq 0).
Portanto, ao aproximar x\to-1 com y=0,
\lim_{x\to-1} f(x,0)= -(-1)=1.
Caminho 2: ao longo de x=-1 (com y\to0):
f(-1,y)=\frac{(-1)\,y^{2}-(-1)^{3}}{(-1)^{2}+y^{2}}=\frac{-y^{2}+1}{1+y^{2}}=\frac{1-y^{2}}{1+y^{2}}.
Assim,
\lim_{y\to 0} f(-1,y)=\frac{1-0}{1+0}=1.
Esses dois caminhos já sugerem que o limite pode ser 1. Agora vamos provar rigorosamente que o limite existe e é 1.

Passo 3

Vou mostrar que f(x,y)\to 1 quando (x,y)\to(-1,0) manipulando f(x,y)-1. Calculo:
f(x,y)-1=\frac{x y^{2}-x^{3}}{x^{2}+y^{2}}-1 =\frac{x y^{2}-x^{3}-(x^{2}+y^{2})}{x^{2}+y^{2}}.
Simplifico o numerador:
x y^{2}-x^{3}-x^{2}-y^{2}=-x^{2}(x+1)+y^{2}(x-1).
Portanto
f(x,y)-1=\frac{-x^{2}(x+1)+y^{2}(x-1)}{x^{2}+y^{2}}.

Passo 4

Agora testo o comportamento dessa fração quando (x,y)\to(-1,0). É conveniente fazer a mudança x=-1+h e y=k, com (h,k)\to(0,0). Substituindo:
x+1=h,\qquad x-1=-2+h,\qquad x^{2}=( -1+h)^{2}=1-2h+h^{2}.
O numerador fica
-x^{2}(x+1)+y^{2}(x-1)=-(1-2h+h^{2})h + k^{2}(-2+h).
Desenvolvendo:
= -h +2h^{2}-h^{3}-2k^{2}+h k^{2}.
O denominador é
x^{2}+y^{2}=1-2h+h^{2}+k^{2}.

Passo 5

Note que o numerador é uma soma de termos que tendem a 0 quando (h,k)\to(0,0) (cada termo tem fator h ou k^{2}), logo o numerador tende a 0. O denominador tende a 1 quando (h,k)\to(0,0). Como a função formada pela razão é uma combinação de polinômios contínuos e o denominador não se anula no ponto-limite (limita para 1), segue que
\lim_{(h,k)\to(0,0)} \frac{-h +2h^{2}-h^{3}-2k^{2}+h k^{2}}{1-2h+h^{2}+k^{2}} = \frac{0}{1}=0.
Isto é,
\lim_{(x,y)\to(-1,0)}\bigl(f(x,y)-1\bigr)=0.
Daqui segue que
\lim_{(x,y)\to(-1,0)} f(x,y)=1.

Passo 6

Resumo intuitivo: ao aproximar (x,y) de (-1,0) o numerador e denominador de f(x,y)-1 comportam-se de forma que a diferença tende a zero enquanto o denominador tende a 1. Verificações por caminhos simples (como y=0 e x=-1) dão o mesmo valor 1, e a manipulação algébrica acima é uma prova geral do limite.

Resposta

1

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