Determine, se existir, o plano tangente ao gráfico da função f(x, y)=y e^{y^{2}-x^{2}} passando por (0,0,0).
8 x-9 y+z=2
8 x-9 y+z=0
◯ Não existe
y-z=0

Passo 1

O enunciado pede: determinar o plano tangente ao gráfico da função f(x,y)=y e^{y^{2}-x^{2}} que passa por (0,0,0). Informações relevantes dadas:
  • A função é f(x,y)=y e^{y^{2}-x^{2}}.
  • O ponto dado é (0,0,0).
  • É preciso encontrar o plano tangente ao gráfico de z=f(x,y) que passa por esse ponto. (Observação importante: verificar se (0,0,0) pertence ao gráfico, isto é, se f(0,0)=0.)

Passo 2

Vamos lembrar a fórmula do plano tangente a um gráfico z=f(x,y) no ponto (x_0,y_0,f(x_0,y_0)). A fórmula é a linearização de f:
z = f(x_0,y_0) + f_x(x_0,y_0)\bigl(x-x_0\bigr) + f_y(x_0,y_0)\bigl(y-y_0\bigr).
Aqui:
  • f_x é a derivada parcial de f em relação a x,
  • f_y é a derivada parcial de f em relação a y,
  • (x_0,y_0) é o ponto na base do gráfico onde tomamos o plano tangente.
    Na prática, para achar o plano tangente no ponto indicado é preciso calcular f(x_0,y_0), f_x(x_0,y_0) e f_y(x_0,y_0) e substituir na fórmula.

Passo 3

Primeiro confirmamos que o ponto dado está no gráfico: calculamos f(0,0).
f(0,0)=0\cdot e^{0^{2}-0^{2}}=0.
Portanto o ponto (0,0,0) pertence ao gráfico de f. Logo faz sentido falar do plano tangente no ponto (x_0,y_0)=(0,0).

Passo 4

Agora calculamos as derivadas parciais gerais de f(x,y)=y e^{y^{2}-x^{2}}. Vou explicar passo a passo como derivar cada uma.
Derivada parcial em relação a x: trata-se de diferenciar mantendo y constante. A função tem a forma y\cdot e^{y^{2}-x^{2}} — aqui y é visto como constante multiplicando a exponencial. Derivando a exponencial em relação a x usamos a regra da cadeia, a derivada de e^{g(x)} é e^{g(x)}g'(x). Como g(x) = y^{2}-x^{2}, tem g'(x)=-2x. Assim
f_x(x,y)=y\cdot e^{y^{2}-x^{2}}\cdot(-2x)=-2x y e^{y^{2}-x^{2}}.
Derivada parcial em relação a y: agora y não é constante, temos produto y\cdot e^{y^{2}-x^{2}}. Usamos regra do produto: (uv)'=u'v+uv'. Aqui u=y com u'=1 e v=e^{y^{2}-x^{2}} com v'=e^{y^{2}-x^{2}}\cdot(2y) (regra da cadeia, pois d/dy(y^2-x^2)=2y). Portanto
f_y(x,y)=1\cdot e^{y^{2}-x^{2}} + y\cdot e^{y^{2}-x^{2}}\cdot(2y)=e^{y^{2}-x^{2}}\bigl(1+2y^{2}\bigr).

Passo 5

Agora avaliamos f, f_x e f_y no ponto (0,0).
Calculamos já f(0,0)=0 no Passo 3. Para as parciais:
f_x(0,0) = -2\cdot 0\cdot 0\cdot e^{0-0}=0,
f_y(0,0) = e^{0-0}\bigl(1+2\cdot 0^{2}\bigr)=1\cdot 1 = 1.

Passo 6

Substituímos na fórmula do plano tangente com (x_0,y_0)=(0,0):
z = f(0,0) + f_x(0,0)(x-0) + f_y(0,0)(y-0).
Substituindo os valores:
z = 0 + 0\cdot x + 1\cdot y = y.
Reescrevendo na forma implícita habitual:
y - z = 0.

Passo 7

Verificação rápida: o plano encontrado passa por (0,0,0) porque substituindo x=0,\\ y=0,\\ z=0 na equação y-z=0 obtém-se 0-0=0, ok. Além disso, é a linearização de f em (0,0), então é de fato o plano tangente naquele ponto.

Resposta

y - z = 0

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