Determine, se existir, o plano tangente ao gráfico da função
passando por
.
◯
◯
◯ Não existe
◯
◯
◯
◯ Não existe
◯
Passo 1
O enunciado pede: determinar o plano tangente ao gráfico da função
que passa por
. Informações relevantes dadas:
- A função é
. - O ponto dado é
. - É preciso encontrar o plano tangente ao gráfico de
que passa por esse ponto. (Observação importante: verificar se pertence ao gráfico, isto é, se .)
Passo 2
Vamos lembrar a fórmula do plano tangente a um gráfico
no ponto
. A fórmula é a linearização de
:
Aqui:
-
é a derivada parcial de em relação a , -
é a derivada parcial de em relação a , -
é o ponto na base do gráfico onde tomamos o plano tangente.
Na prática, para achar o plano tangente no ponto indicado é preciso calcular, e e substituir na fórmula.
Passo 3
Primeiro confirmamos que o ponto dado está no gráfico: calculamos
.
Portanto o ponto
pertence ao gráfico de
. Logo faz sentido falar do plano tangente no ponto
.
Passo 4
Agora calculamos as derivadas parciais gerais de
. Vou explicar passo a passo como derivar cada uma.
Derivada parcial em relação a
: trata-se de diferenciar mantendo
constante. A função tem a forma
— aqui
é visto como constante multiplicando a exponencial. Derivando a exponencial em relação a
usamos a regra da cadeia, a derivada de
é
. Como
, tem
. Assim
Derivada parcial em relação a
: agora
não é constante, temos produto
. Usamos regra do produto:
. Aqui
com
e
com
(regra da cadeia, pois
). Portanto
Passo 5
Agora avaliamos
,
e
no ponto
.
Calculamos já
no Passo 3. Para as parciais:
Passo 6
Substituímos na fórmula do plano tangente com
:
Substituindo os valores:
Reescrevendo na forma implícita habitual:
Passo 7
Verificação rápida: o plano encontrado passa por
porque substituindo
na equação
obtém-se
, ok. Além disso, é a linearização de
em
, então é de fato o plano tangente naquele ponto.