Calcule o fluxo do campo \vec{F} através da superfície \sigma dada em cada caso.
\vec{F}=x \vec{i}-z \vec{j}+y \vec{k}, \sigma a parte da esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=4 no primeiro octante, com orientação apontando para a origem.

Passo 1

O enunciado pede o fluxo do campo \vec{F}=x\vec{i}-z\vec{j}+y\vec{k} através da superfície \sigma, que é a parte da esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=4 situada no primeiro octante (ou seja x\ge0,\;y\ge0,\;z\ge0). A orientação da superfície é apontando para a origem (isto é, normal apontando para dentro da bola).
Informações dadas que vamos usar:
  • O raio da esfera é 2 porque x^{2}+y^{2}+z^{2}=4.
  • A superfície \sigma é apenas a parte da esfera no primeiro octante.
  • Orientação: normal apontando para a origem (inward).
  • O campo é \vec{F}=x\vec{i}-z\vec{j}+y\vec{k}.
O que o problema pede: calcular \iint_{\sigma}\vec{F}\cdot\vec{n}\,dS com \vec{n} apontando para a origem.

Passo 2

Estratégia e ideia de cálculo (explicação didática).
  • O fluxo por uma superfície é \iint_{\sigma}\vec{F}\cdot\vec{n}\,dS, onde \vec{n} é o versor normal escolhido (aqui, apontando para a origem).
  • Como \sigma é apenas parte da superfície que delimita um sólido (o octante da esfera), é conveniente fechar a superfície adicionando as três faces planas nos planos coordenados x=0,\;y=0,\;z=0. Assim obtemos a superfície fechada S que é a união da parte esférica S_{\text{sfera}} e das três faces planas.
  • O Teorema da Divergência (Gauss) diz que, para uma região sólida V com fronteira fechada S e normal exterior, vale:
\iint_{S}\vec{F}\cdot\vec{n}_{\text{out}}\,dS=\iiint_{V}\operatorname{div}\vec{F}\,dV.
Vou usar essa fórmula para obter o fluxo através da parte esférica com normal externo; depois ajusto o sinal porque o enunciado pede normal apontando para a origem (que é o normal interno relativo a V).

Passo 3

Aplicando o Teorema da Divergência ao volume V que é o octante da bola de raio 2. Notação:
  • Seja S_{\text{sfera}} a parte da esfera (com normal \vec{n}_{\text{out}} apontando para fora da bola, isto é, para longe da origem).
  • Sejam S_x, S_y, S_z as faces planas em x=0,\;y=0,\;z=0, com suas normais \vec{n}_{\text{out}} sempre apontando para fora do volume V.
O Teorema da Divergência dá:
\iint_{S_{\text{sfera}}\cup S_x\cup S_y\cup S_z}\vec{F}\cdot\vec{n}_{\text{out}}\,dS =\iiint_{V}\operatorname{div}\vec{F}\,dV.
Portanto
\iint_{S_{\text{sfera}}\!}\vec{F}\cdot\vec{n}_{\text{out}}\,dS =\iiint_{V}\operatorname{div}\vec{F}\,dV -\sum_{\text{planos}}\iint_{S_{\text{plano}}}\vec{F}\cdot\vec{n}_{\text{out}}\,dS.
Mas o enunciado quer \iint_{\sigma}\vec{F}\cdot\vec{n}_{\text{in}}\,dS onde \vec{n}_{\text{in}} aponta para a origem; temos \vec{n}_{\text{in}}=-\vec{n}_{\text{out}} na parte esférica. Logo o fluxo pedido é
\iint_{\sigma}\vec{F}\cdot\vec{n}_{\text{in}}\,dS =-\iint_{S_{\text{sfera}}}\vec{F}\cdot\vec{n}_{\text{out}}\,dS.
Portanto, depois de calcular o lado direito com o divergente e as faces planas, invertemos o sinal.

Passo 4

Calcular a divergência e o integral triplo.
  • Divergência do campo:
\operatorname{div}\vec{F}=\frac{\partial}{\partial x}(x)+\frac{\partial}{\partial y}(-z)+\frac{\partial}{\partial z}(y)=1+0+0=1.
  • Assim \iiint_{V}\operatorname{div}\vec{F}\,dV=\iiint_{V}1\,dV= volume de V.
  • V é o octante da bola de raio 2, ou seja, \tfrac{1}{8} do volume da esfera de raio 2. O volume da esfera é \tfrac{4}{3}\pi r^{3}=\tfrac{4}{3}\pi\cdot 2^{3}=\tfrac{32}{3}\pi. Portanto o volume do octante é
\iiint_{V}1\,dV=\frac{1}{8}\cdot\frac{32}{3}\pi=\frac{4}{3}\pi.

Passo 5

Calcular os fluxos através das faces planas (com as normais \vec{n}_{\text{out}} do sólido), e somá-los.
  • Face S_x em x=0: normal para fora é \vec{n}_{\text{out}}=(-1,0,0). No plano x=0 temos \vec{F}=(0,-z,y). Então
\vec{F}\cdot\vec{n}_{\text{out}} = (0,-z,y)\cdot(-1,0,0)=0.
Logo a contribuição do plano x=0 é 0.
  • Face S_y em y=0: normal para fora é \vec{n}_{\text{out}}=(0,-1,0). No plano y=0 temos \vec{F}=(x,-z,0). Então
\vec{F}\cdot\vec{n}_{\text{out}}=(x,-z,0)\cdot(0,-1,0)=z.
A região de integração é o quarto de disco no plano y=0 com x\ge0,\;z\ge0 e x^{2}+z^{2}\le 4. É prático usar coordenadas polares no plano x\!-\!z: x=r\cos\theta,\;z=r\sin\theta, com r\in[0,2], \theta\in[0,\tfrac{\pi}{2}]. O elemento de área é dA=r\,dr\,d\theta. Assim o fluxo pela face y=0 é
\iint_{S_y} z\,dA =\int_{\theta=0}^{\pi/2}\int_{r=0}^{2} (r\sin\theta)\,r\,dr\,d\theta =\left(\int_{0}^{\pi/2}\sin\theta\,d\theta\right)\left(\int_{0}^{2} r^{2}\,dr\right).
Calcule:
\int_{0}^{\pi/2}\sin\theta\,d\theta=1,\qquad \int_{0}^{2} r^{2}\,dr=\frac{2^{3}}{3}=\frac{8}{3}.
Logo o fluxo em S_y é \dfrac{8}{3}.
  • Face S_z em z=0: normal para fora é \vec{n}_{\text{out}}=(0,0,-1). No plano z=0 temos \vec{F}=(x,0,y). Então
\vec{F}\cdot\vec{n}_{\text{out}}=(x,0,y)\cdot(0,0,-1)=-y.
A região de integração é o quarto de disco no plano z=0 com x\ge0,\;y\ge0 e x^{2}+y^{2}\le 4. Usando coordenadas polares no plano x\!-\!y: x=r\cos\theta,\;y=r\sin\theta, r\in[0,2], \theta\in[0,\tfrac{\pi}{2}], e dA=r\,dr\,d\theta. Então
\iint_{S_z} -y\,dA =\int_{0}^{\pi/2}\int_{0}^{2} -(r\sin\theta)\,r\,dr\,d\theta =-\left(\int_{0}^{\pi/2}\sin\theta\,d\theta\right)\left(\int_{0}^{2} r^{2}\,dr\right) =-\frac{8}{3}.
  • Somando as três contribuições das faces planas:
\sum_{\text{planos}}\iint_{S_{\text{plano}}}\vec{F}\cdot\vec{n}_{\text{out}}\,dS =0+\frac{8}{3}-\frac{8}{3}=0.

Passo 6

Combinar tudo para obter o fluxo através da parte esférica com a orientação pedida.
  • Do Passo 4 temos \iiint_{V}\operatorname{div}\vec{F}\,dV=\dfrac{4}{3}\pi.
  • Do Passo 5 a soma dos fluxos nas faces planas é 0.
  • Pelo Teorema da Divergência:
\iint_{S_{\text{sfera}}}\vec{F}\cdot\vec{n}_{\text{out}}\,dS =\iiint_{V}\operatorname{div}\vec{F}\,dV -\sum_{\text{planos}}\iint_{S_{\text{plano}}}\vec{F}\cdot\vec{n}_{\text{out}}\,dS =\frac{4}{3}\pi - 0=\frac{4}{3}\pi.
  • Mas a orientação pedida é a normal apontando para a origem, ou seja \vec{n}_{\text{in}}=-\vec{n}_{\text{out}} na parte esférica. Logo o fluxo pedido é
\iint_{\sigma}\vec{F}\cdot\vec{n}_{\text{in}}\,dS =-\iint_{S_{\text{sfera}}}\vec{F}\cdot\vec{n}_{\text{out}}\,dS =-\frac{4}{3}\pi.

Resposta

-\dfrac{4}{3}\pi

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