Calcule o fluxo do campo
através da superfície
dada em cada caso.
a parte da esfera
no primeiro octante, com orientação apontando para a origem.
Passo 1
O enunciado pede o fluxo do campo
através da superfície
, que é a parte da esfera
situada no primeiro octante (ou seja
). A orientação da superfície é apontando para a origem (isto é, normal apontando para dentro da bola).
Informações dadas que vamos usar:
- O raio da esfera é
porque . - A superfície
é apenas a parte da esfera no primeiro octante. - Orientação: normal apontando para a origem (inward).
- O campo é
.
O que o problema pede: calcular
com
apontando para a origem.
Passo 2
Estratégia e ideia de cálculo (explicação didática).
- O fluxo por uma superfície é
, onde é o versor normal escolhido (aqui, apontando para a origem). - Como
é apenas parte da superfície que delimita um sólido (o octante da esfera), é conveniente fechar a superfície adicionando as três faces planas nos planos coordenados . Assim obtemos a superfície fechada que é a união da parte esférica e das três faces planas. - O Teorema da Divergência (Gauss) diz que, para uma região sólida
com fronteira fechada e normal exterior, vale:
Vou usar essa fórmula para obter o fluxo através da parte esférica com normal externo; depois ajusto o sinal porque o enunciado pede normal apontando para a origem (que é o normal interno relativo a
).
Passo 3
Aplicando o Teorema da Divergência ao volume
que é o octante da bola de raio
. Notação:
- Seja
a parte da esfera (com normal apontando para fora da bola, isto é, para longe da origem). - Sejam
as faces planas em , com suas normais sempre apontando para fora do volume .
O Teorema da Divergência dá:
Portanto
Mas o enunciado quer
onde
aponta para a origem; temos
na parte esférica. Logo o fluxo pedido é
Portanto, depois de calcular o lado direito com o divergente e as faces planas, invertemos o sinal.
Passo 4
Calcular a divergência e o integral triplo.
- Divergência do campo:
- Assim
volume de . -
é o octante da bola de raio , ou seja, do volume da esfera de raio . O volume da esfera é . Portanto o volume do octante é
Passo 5
Calcular os fluxos através das faces planas (com as normais
do sólido), e somá-los.
- Face
em : normal para fora é . No plano temos . Então
Logo a contribuição do plano
é
.
- Face
em : normal para fora é . No plano temos . Então
A região de integração é o quarto de disco no plano
com
e
. É prático usar coordenadas polares no plano
:
, com
,
. O elemento de área é
. Assim o fluxo pela face
é
Calcule:
Logo o fluxo em
é
.
- Face
em : normal para fora é . No plano temos . Então
A região de integração é o quarto de disco no plano
com
e
. Usando coordenadas polares no plano
:
,
,
, e
. Então
- Somando as três contribuições das faces planas:
Passo 6
Combinar tudo para obter o fluxo através da parte esférica com a orientação pedida.
- Do Passo 4 temos
. - Do Passo 5 a soma dos fluxos nas faces planas é
. - Pelo Teorema da Divergência:
- Mas a orientação pedida é a normal apontando para a origem, ou seja
na parte esférica. Logo o fluxo pedido é