Use o Teorema da Divergência para calcular o fluxo do campo \vec{F} através da superfície S em cada caso. \vec{F}=z \vec{i}+y \vec{j}-z x \vec{k}, S é a superfície do tetraedro limitado pelos planos coordenados e o plano \frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1, a, b, c,>0.
Passo 1
O enunciado pede o fluxo do campo \vec{F} através da superfície fechada S, onde:
O campo vetorial é \vec{F}=z\,\vec{i}+y\,\vec{j}-z x\,\vec{k}.
A superfície S é a superfície do tetraedro limitado pelos planos coordenados x=0, y=0, z=0 e pelo plano \dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}+\dfrac{z}{c}=1, com a,b,c>0.
A tarefa: calcular o fluxo total de \vec{F} através de S (fluxo sobre a superfície fechada do tetraedro).
Passo 2
Vou usar o Teorema da Divergência (também chamado Teorema de Gauss). Ele diz o seguinte, em palavras simples: o fluxo total de um campo vetorial \vec{F} através de uma superfície fechada S que envolve um volume V é igual à integral tripla sobre V da divergência de \vec{F}.
Aqui \vec{n} é o vetor normal exterior à superfície e \nabla\cdot\vec{F} é a divergência de \vec{F}. Vou aplicar exatamente isso: calcular \nabla\cdot\vec{F} e integrar no volume do tetraedro.
Passo 3
Calcular a divergência de \vec{F}. A divergência é a soma das derivadas parciais das componentes em relação às suas variáveis:
Calcular \displaystyle \iiint_{V} x\,dV. Usando os mesmos passos e limites, já sabemos que após integrar z e y a contribuição da parte espacial (sem o fator x) ficou \dfrac{bc}{2}\left(1-\tfrac{x}{a}\right)^{2}. Assim
(Dica: isso também coincide com o fato de que a coordenada x do centróide do tetraedro é \dfrac{a}{4}, então \iiint_{V}x\,dV=(a/4)\cdot V=(a/4)\cdot(abc/6)=a^{2}bc/24.)