Use o Teorema da Divergência para calcular o fluxo do campo \vec{F} através da superfície S em cada caso.
\vec{F}=z \vec{i}+y \vec{j}-z x \vec{k}, S é a superfície do tetraedro limitado pelos planos coordenados e o plano \frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1, a, b, c,>0.

Passo 1

O enunciado pede o fluxo do campo \vec{F} através da superfície fechada S, onde:
  • O campo vetorial é \vec{F}=z\,\vec{i}+y\,\vec{j}-z x\,\vec{k}.
  • A superfície S é a superfície do tetraedro limitado pelos planos coordenados x=0, y=0, z=0 e pelo plano \dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}+\dfrac{z}{c}=1, com a,b,c>0.
A tarefa: calcular o fluxo total de \vec{F} através de S (fluxo sobre a superfície fechada do tetraedro).

Passo 2

Vou usar o Teorema da Divergência (também chamado Teorema de Gauss). Ele diz o seguinte, em palavras simples: o fluxo total de um campo vetorial \vec{F} através de uma superfície fechada S que envolve um volume V é igual à integral tripla sobre V da divergência de \vec{F}.
Em fórmula:
\iint_{S}\vec{F}\cdot\vec{n}\,dS \;=\; \iiint_{V} \nabla\cdot\vec{F}\,dV.
Aqui \vec{n} é o vetor normal exterior à superfície e \nabla\cdot\vec{F} é a divergência de \vec{F}. Vou aplicar exatamente isso: calcular \nabla\cdot\vec{F} e integrar no volume do tetraedro.

Passo 3

Calcular a divergência de \vec{F}. A divergência é a soma das derivadas parciais das componentes em relação às suas variáveis:
\nabla\cdot\vec{F}=\frac{\partial}{\partial x}(F_x)+\frac{\partial}{\partial y}(F_y)+\frac{\partial}{\partial z}(F_z).
Para o nosso campo:
F_x=z,\qquad F_y=y,\qquad F_z=-z x.
Agora as derivadas:
\frac{\partial}{\partial x}(z)=0,\qquad \frac{\partial}{\partial y}(y)=1,\qquad \frac{\partial}{\partial z}(-z x)=-x.
Portanto
\nabla\cdot\vec{F}=0+1-x=1-x.

Passo 4

Descrever o volume V (o tetraedro) e montar a integral tripla. O tetraedro é
V=\{(x,y,z)\mid x\ge0,\;y\ge0,\;z\ge0,\;\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}\le1\}.
Uma escolha prática de limites de integração (ordem dz\,dy\,dx) é:
0\le x\le a, \qquad 0\le y\le b\left(1-\frac{x}{a}\right), \qquad 0\le z\le c\left(1-\frac{x}{a}-\frac{y}{b}\right).
Pela Divergência:
\iint_{S}\vec{F}\cdot\vec{n}\,dS \;=\; \iiint_{V} (1-x)\,dV \;=\; \iiint_{V}1\,dV \;-\; \iiint_{V} x\,dV.
Vou calcular separadamente \iiint_{V}1\,dV (o volume) e \iiint_{V} x\,dV (o primeiro momento em x).

Passo 5

Calcular o volume V=\iiint_{V}1\,dV por integração direta usando os limites definidos.
Primeiro integro em z:
\int_{0}^{c\left(1-\tfrac{x}{a}-\tfrac{y}{b}\right)} dz = c\left(1-\frac{x}{a}-\frac{y}{b}\right).
Agora integro em y:
\int_{0}^{b\left(1-\tfrac{x}{a}\right)} c\left(1-\frac{x}{a}-\frac{y}{b}\right)\,dy.
Faço essa integral explicitamente:
\begin{aligned} &\int_{0}^{b(1-\tfrac{x}{a})} c\left(1-\frac{x}{a}-\frac{y}{b}\right)\,dy = c\left(1-\frac{x}{a}\right)\,y\Big|_{0}^{b(1-\tfrac{x}{a})} - c\cdot\frac{1}{b}\cdot\frac{y^{2}}{2}\Big|_{0}^{b(1-\tfrac{x}{a})}\\[4pt] &= c\left(1-\frac{x}{a}\right)\cdot b\left(1-\frac{x}{a}\right) - c\cdot\frac{1}{b}\cdot\frac{b^{2}\left(1-\frac{x}{a}\right)^{2}}{2}\\[4pt] &= bc\left(1-\frac{x}{a}\right)^{2}\left(1-\frac{1}{2}\right) = \frac{bc}{2}\left(1-\frac{x}{a}\right)^{2}. \end{aligned}
Agora integro em x:
V=\int_{0}^{a} \frac{bc}{2}\left(1-\frac{x}{a}\right)^{2}\,dx.
Faço a mudança u=\dfrac{x}{a}, então dx=a\,du e quando x vai de 0 a a, u vai de 0 a 1:
V=\frac{bc}{2}\cdot a \int_{0}^{1} (1-u)^{2}\,du = \frac{abc}{2}\cdot \left[\frac{(1-u)^{3}}{-3}\right]_{0}^{1} = \frac{abc}{2}\cdot \frac{1}{3} = \frac{abc}{6}.
Portanto
\iiint_{V}1\,dV=\frac{abc}{6}.]

Passo 6

Calcular \displaystyle \iiint_{V} x\,dV. Usando os mesmos passos e limites, já sabemos que após integrar z e y a contribuição da parte espacial (sem o fator x) ficou \dfrac{bc}{2}\left(1-\tfrac{x}{a}\right)^{2}. Assim
\iiint_{V} x\,dV = \int_{0}^{a} x\cdot \frac{bc}{2}\left(1-\frac{x}{a}\right)^{2}\,dx.
Fazemos a mesma substituição u=\dfrac{x}{a}, com dx=a\,du e x=a u:
\begin{aligned} \iiint_{V} x\,dV &= \frac{bc}{2}\int_{0}^{a} x\left(1-\frac{x}{a}\right)^{2}\,dx = \frac{bc}{2}\cdot a^{2} \int_{0}^{1} u(1-u)^{2}\,du. \end{aligned}
Calculo a integral em u:
\int_{0}^{1} u(1-u)^{2}\,du = \int_{0}^{1} (u-2u^{2}+u^{3})\,du = \left[\frac{u^{2}}{2}-\frac{2u^{3}}{3}+\frac{u^{4}}{4}\right]_{0}^{1} = \frac{1}{2}-\frac{2}{3}+\frac{1}{4} = \frac{1}{12}.
Logo
\iiint_{V} x\,dV = \frac{bc}{2}\cdot a^{2}\cdot \frac{1}{12} = \frac{a^{2}b c}{24}.
(Dica: isso também coincide com o fato de que a coordenada x do centróide do tetraedro é \dfrac{a}{4}, então \iiint_{V}x\,dV=(a/4)\cdot V=(a/4)\cdot(abc/6)=a^{2}bc/24.)

Passo 7

Agora volto à integral da divergência:
\iint_{S}\vec{F}\cdot\vec{n}\,dS = \iiint_{V} (1-x)\,dV = \iiint_{V}1\,dV - \iiint_{V}x\,dV = \frac{abc}{6} - \frac{a^{2}b c}{24}.
Posso simplificar fatorando abc:
\iint_{S}\vec{F}\cdot\vec{n}\,dS = abc\!\left(\frac{1}{6}-\frac{a}{24}\right) = \frac{abc}{24}\,(4-a).

Resposta

\iint_{S}\vec{F}\cdot\vec{n}\,dS \;=\; \frac{abc}{6}-\frac{a^{2}b c}{24} \;=\; \frac{abc}{24}\,(4-a).

Exercícios relacionados