Calcule, se existir, o limite
onde
é dada como abaixo,
(f)
(f)
Passo 1
Temos a definição de derivada pelo limite
e a função é f(x)=\sqrt[3]{x+3}. Para calcular esse limite, vamos usar a identidade de diferença de cubos para “racionalizar” a expressão e eliminar a indeterminação 0/0.
Passo 2
Escrevemos o quociente de diferenças:
Percebemos que, ao substituir h=0, dá 0/0. Então multiplicamos numerador e denominador pelo fator
aplicando a identidade
Passo 3
Após multiplicar, o numerador fica
e o denominador é
Simplificando h, obtemos
Fazendo h\to0, cada termo com (x+h+3)^{1/3} vira (x+3)^{1/3}, então o denominador fica 3(x+3)^{2/3}.
Passo 4
Assim, o limite existe para todo x e vale 1 sobre 3(x+3)^{2/3}.
Resposta
f’(x)=\frac{1}{3(x+3)^{2/3}}