Calcule, se existir, o limite
lim h 0 f(x+h)-f(x)h
onde f(x) é dada como abaixo,
(f) f(x)=raiz[3]x+3

Passo 1

Temos a definição de derivada pelo limite
limhto 0f(x+h)-f(x)h
e a função é f(x)=\sqrt[3]{x+3}. Para calcular esse limite, vamos usar a identidade de diferença de cubos para “racionalizar” a expressão e eliminar a indeterminação 0/0.

Passo 2

Escrevemos o quociente de diferenças:
f(x+h)-f(x)h= (x+h+3)^1/3-(x+3)^1/3h
Percebemos que, ao substituir h=0, dá 0/0. Então multiplicamos numerador e denominador pelo fator
(x+h+3)^2/3+(x+h+3)^1/3(x+3)^1/3+(x+3)^2/3,
aplicando a identidade
(a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3-b^3

Passo 3

Após multiplicar, o numerador fica
(x+h+3)-(x+3)=h
e o denominador é
hl[(x+h+3)^2/3+(x+h+3)^1/3(x+3)^1/3+(x+3)^2/3r]
Simplificando h, obtemos
1(x+h+3)^2/3+(x+h+3)^1/3(x+3)^1/3+(x+3)^2/3
Fazendo h\to0, cada termo com (x+h+3)^{1/3} vira (x+3)^{1/3}, então o denominador fica 3(x+3)^{2/3}.

Passo 4

Assim, o limite existe para todo x e vale 1 sobre 3(x+3)^{2/3}.

Resposta

f’(x)=\frac{1}{3(x+3)^{2/3}}

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