Prove que se a, w otin R e f é contínua por partes, tendendo a zero no infinito, então
widehatf^prime(x)=j omega f(omega)

Passo 1

Vamos resumir o que precisamos provar: dado que f é contínua por partes, tende a zero quando xtopminfty, queremos mostrar que a transformada de Fourier da derivada de f satisfaz widehatf'(omega)=j,omega,hat f(omega). O conteúdo aqui é teoria de transformada de Fourier e uso de integração por partes.

Passo 2

Primeiro, lembramos a definição da transformada de Fourier de f:
hat f(omega)=integral-infty^inftyf(x),e^-jomega x,dx
Logo, a transformada de Fourier de f' é
widehatf'(omega)=integral-infty^inftyf'(x),e^-jomega x,dx

Passo 3

Para resolver esse integral, usamos integração por partes. Escolhemos
u = e^-jomega x, dv = f'(x),dx;
então
du = -jomega,e^-jomega x,dx,
v = f(x)
Aplicando a fórmula integral u,dv = u,v l|-infty^infty - integral v,du, obtemos
integral-infty^inftyf'(x)e^-jomega x,dx = f(x)e^-jomega xl|-infty^infty - integral-infty^inftyf(x)(-jomega)e^-jomega x,dx
Isso se reescreve como
widehatf'(omega) = f(x)e^-jomega xl|-infty^infty + jomegaintegral-infty^inftyf(x)e^-jomega x,dx

Passo 4

Pela hipótese de que f(x)to 0 quando xtopminfty, o termo de contorno
f(x)e^-jomega xl|-infty^infty
dá zero. Então sobra
widehatf'(omega)=jomegaintegral-infty^inftyf(x)e^-jomega x,dx = jomegahat f(omega)

Passo 5

Pronto! Chegamos exatamente ao resultado desejado, usando integração por partes e a condição de decaimento de f.

Resposta

widehatf'(omega)=j,omega,hat f(omega)

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