Prove que se a, w otin R e f é contínua por partes, tendendo a zero no infinito, então
widehatf(x-a)=e^-j a omega f(omega)

Passo 1

A questão pede para provar a propriedade de deslocamento no tempo da transformada de Fourier: mostrando que ao deslocar a função f em a unidades, sua transformada ganha um fator exponencial. O conteúdo é a definição da transformada de Fourier para funções contínuas por partes e que tendem a zero no infinito. Vamos precisar usar a mudança de variável em integrais e as propriedades de exponenciais.

Passo 2

Começamos escrevendo a definição da transformada de Fourier de g(x)=f(x−a). Pela definição, temos:
widehatf(x-a) = integral-infty^+infty f(x-a) ,e^-jomega x ,dx

Passo 3

Para simplificar essa integral, fazemos a mudança de variável t = x − a. Assim, x = t + a e dx = dt. Os limites continuam de −∞ a +∞, e a integral vira:
integral-infty^+infty f(t) ,e^-jomega(t+a) ,dt = integral-infty^+infty f(t) ,e^-jomega t ,e^-jomega a ,dt

Passo 4

Como e^{-j\omega a} não depende de t, podemos tirá-lo fora da integral:
e^-jomega a integral-infty^+infty f(t) ,e^-jomega t ,dt Mas essa integral é exatamente a transformada de Fourier original hat f(omega). Portanto chegamos à relação desejada.

Resposta

widehatf(x-a) = e^-j a omega ,hat f(omega)

Exercícios relacionados