Prove que se
e
é contínua por partes, tendendo a zero no infinito, então
Passo 1
A questão pede para provar a propriedade de deslocamento no tempo da transformada de Fourier: mostrando que ao deslocar a função f em a unidades, sua transformada ganha um fator exponencial. O conteúdo é a definição da transformada de Fourier para funções contínuas por partes e que tendem a zero no infinito. Vamos precisar usar a mudança de variável em integrais e as propriedades de exponenciais.
Passo 2
Começamos escrevendo a definição da transformada de Fourier de g(x)=f(x−a). Pela definição, temos:
Passo 3
Para simplificar essa integral, fazemos a mudança de variável t = x − a. Assim, x = t + a e dx = dt. Os limites continuam de −∞ a +∞, e a integral vira:
Passo 4
Como e^{-j\omega a} não depende de t, podemos tirá-lo fora da integral: