Nos items a seguir, esboce o sólido no primeiro octante limitado pelos gráficos das funções dadas e encontre seu volume.
z=9-x^2-3 y^2

Passo 1

Resumindo o enunciado, queremos esboçar e calcular o volume do sólido no primeiro octante limitado pela superfície z = 9 - x^2 - 3y^2 e pelos planos x = 0, y = 0 e z = 0. O conteúdo é volume via integrais duplas.

Passo 2

A projeção desse sólido no plano xy é a região D definida por 9 - x^2 - 3y^2 >= 0 com x >= 0, y >= 0, ou seja,
x^2 + 3y^2 <= 9,
um quarto de elipse de semi-eixos 3 (eixo x) e raiz3 (eixo y).

Passo 3

O volume é dado por
V = integral duplaD (9 - x^2 - 3y^2),dA
Em coordenadas retangulares podemos usar 0 <= x <= 3 e 0 <= y <= raiztfrac9 - x^23.

Passo 4

Calculando a integral interna em y:
integral0^raiz9 - x^23 (9 - x^2 - 3y^2),dy = [(9 - x^2)y - y^3]0^raiz9 - x^23 = 2(9 - x^2)^3/23raiz3

Passo 5

Substituindo na integral em x, obtemos
V = integral0^3 2(9 - x^2)^3/23raiz3,dx = 23raiz3 integral0^3 (9 - x^2)^3/2,dx

Passo 6

Para resolver integral0^3(9 - x^2)^3/2,dx, fazemos x = 3sintheta, dx = 3costheta,dtheta e mudamos os limites de integração para thetain[0,pi/2]. Então
integral0^3(9 - x^2)^3/2,dx = integral0^pi/2 81cos^4theta,dtheta = 81 cdot 3pi16 = 81pi16

Passo 7

Logo obtemos
V = 23raiz3 cdot 81pi16 = 27piraiz38

Resposta

O volume do sólido é 27piraiz38.

Exercícios relacionados