Calcule, se existir, ou mostre que não existem os limites abaixo:
(1,0) lim (x, y) (0,0) x sen(x y)x^2+y^2.

Passo 1

O enunciado pede o limite da função de duas variáveis
f(x,y)=xsen(xy)x^2+y^2
quando (x,y)to(0,0). O conteúdo principal é cálculo de limite em R^2 e precisaremos usar uma desigualdade para “domar” o seno e, opcionalmente, coordenadas polares para mostrar que o valor tende a zero de forma uniforme.

Passo 2

Lembramos que l|sen tr|<=|t| para todo tinR. Portanto,
l|xsen(xy)r|<=|x|;|xy|=|x^2y|
Em consequência,
l|f(x,y)r| =|xsen(xy)x^2+y^2| <=|x^2y|x^2+y^2

Passo 3

Para concluir que o quociente à direita tende a zero, é conveniente usar coordenadas polares:
x=rcostheta, y=rsintheta,
onde r=raizx^2+y^2to0. Então
|x^2y| =l|rcosthetar|^2,l|rsinthetar| =r^3|cos^2theta,sintheta|
e o denominador x^2+y^2=r^2. Logo,

Passo 4

l|f(x,y)r| <=r^3|cos^2theta,sintheta|r^2 =r,|cos^2theta,sintheta|
Como |cos^2theta,sintheta|<=1 para todo theta, isso implica
l|f(x,y)r|<= r,
e rto0 quando (x,y)to(0,0).

Passo 5

Pelo teorema do sanduíche (squeeze theorem), l|f(x,y)r|to0 implica f(x,y)to0. Logo o limite existe e vale zero.

Resposta

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