Calcule, se existir, ou mostre que não existem os limites abaixo: .
Passo 1
O enunciado pede o limite da função de duas variáveis
quando . O conteúdo principal é cálculo de limite em e precisaremos usar uma desigualdade para “domar” o seno e, opcionalmente, coordenadas polares para mostrar que o valor tende a zero de forma uniforme.
Passo 2
Lembramos que para todo tinR. Portanto,
l|xsen(xy)r|<=|x|;|xy|=|x^2y|
Em consequência,
l|f(x,y)r| =|xsen(xy)x^2+y^2| <=|x^2y|x^2+y^2
Passo 3
Para concluir que o quociente à direita tende a zero, é conveniente usar coordenadas polares: