Considere a função f: R^2 R dada por
f(x, y)=ll x^2 yx^2+y^2, & se (x, y) neq(0,0) 0, & se (x, y)=(0,0)
(a) (0,5) Determine os pontos em que a função f é contínua.
(b) (1,0) Determine as funções partial fpartial x e partial fpartial y.
(c) (1,0) Determine os pontos em que a função f é diferenciável.

Passo 1

O enunciado define a função
f(x,y)= x^2yx^2+y^2,& (x,y)neq(0,0), 0,&(x,y)=(0,0),
e pede
(a) os pontos de continuidade de f,
(b) as derivadas parciais partial fpartial x e partial fpartial y,
(c) os pontos de diferenciabilidade de f.
Para isso usaremos definição de continuidade (limites), regra do quociente para derivadas parciais, definição de derivada no ponto e teste de diferenciabilidade via resto da aproximação linear.

Passo 2

Em (x,y)neq(0,0) a função é quociente de polinômios com denominador x^2+y^2neq0, logo é contínua aí. No ponto (0,0) usamos coordenadas polares x=rcostheta, y=rsintheta. Então, para (x,y)neq(0,0),
f(r,theta) =r^2cos^2theta;rsinthetar^2 =rcos^2thetasintheta,
e daí
|f(x,y)|<= rl|cos^2thetasinthetar|<= rto0quando rto0
Logo lim(x,y)to(0,0)f(x,y)=0=f(0,0), isto é, f é contínua também em (0,0). Conclusão: f é contínua em todo R^2.

Passo 3

Para (x,y)neq(0,0) defina u(x,y)=x^2y e v(x,y)=x^2+y^2. Então
ux=2xy, vx=2x,
uy=x^2, vy=2y
Pela regra do quociente,
partial fpartial x(x,y) =ux,v - u,vxv^2 =2xy,(x^2+y^2)-x^2ycdot2x(x^2+y^2)^2 =2x y^3(x^2+y^2)^2,
partial fpartial y(x,y) =uy,v - u,vyv^2 =x^2,(x^2+y^2)-x^2ycdot2y(x^2+y^2)^2 =x^2(x^2-y^2)(x^2+y^2)^2
No ponto (0,0) usamos a definição:
partial fpartial x(0,0) =limhto0f(h,0)-f(0,0)h =limhto00h=0,
partial fpartial y(0,0) =limkto0f(0,k)-f(0,0)k =limkto00k=0

Passo 4

Para (x,y)neq(0,0), f é quociente de funções polinomiais sem zero no denominador, logo é de classe C^infty e portanto diferenciável nesses pontos. Em (0,0) se f fosse diferenciável teríamos a aproximação linear
L(x,y)=0e o resto R(x,y)=f(x,y),
com
lim(x,y)to(0,0)R(x,y)raizx^2+y^2=0
Mas ao tomar y=x notamos
f(x,x)=x^2cdot x2x^2=x2, f(x,x)raizx^2+x^2 =x/2raiz2,|x| =sgn(x)2raiz2 notto0
Logo não existe essa aproximação linear em (0,0) e f não é diferenciável aí.

Resposta

(a) f é contínua em todo R^2.
(b) Para (x,y)neq(0,0):
partial fpartial x(x,y) =2x,y^3(x^2+y^2)^2, partial fpartial y(x,y) =x^2(x^2-y^2)(x^2+y^2)^2
E em (0,0),
partial fpartial x(0,0)=0, partial fpartial y(0,0)=0
(c) f é diferenciável em todos os pontos (x,y)neq(0,0), mas não é diferenciável em (0,0).

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