(a) (0,5) Determine os pontos em que a função f é contínua.
(b) (1,0) Determine as funções partial fpartial x e partial fpartial y.
(c) (1,0) Determine os pontos em que a função f é diferenciável.
e pede
(a) os pontos de continuidade de f,
(b) as derivadas parciais partial fpartial x e partial fpartial y,
(c) os pontos de diferenciabilidade de f.
Para isso usaremos definição de continuidade (limites), regra do quociente para derivadas parciais, definição de derivada no ponto e teste de diferenciabilidade via resto da aproximação linear.
Passo 2
Em (x,y)neq(0,0) a função é quociente de polinômios com denominador x^2+y^2neq0, logo é contínua aí. No ponto (0,0) usamos coordenadas polares x=rcostheta, y=rsintheta. Então, para (x,y)neq(0,0),
Para (x,y)neq(0,0), f é quociente de funções polinomiais sem zero no denominador, logo é de classe C^infty e portanto diferenciável nesses pontos. Em (0,0) se f fosse diferenciável teríamos a aproximação linear