Considere a função
(a)
Determine o domínio de
.
(b)
Determine as equações das curvas de nível de
e esboce as curvas de níveis 0,1 , 2.
(c)
Determine a direção de maior variação da função a partir do ponto
. Qual é a taxa de crescimento máximo de
em
?
(b)
(c)
Passo 1
O enunciado trata de uma função de duas variáveis
Vamos (a) encontrar o domínio de definição exigindo que o radicando seja não-negativo; (b) obter as curvas de nível resolvendo
e desenhar os casos
; (c) usar o gradiente de
para determinar a direção de maior crescimento em
e a taxa máxima de variação.
Passo 2
Para
ser real precisamos de
Logo o domínio é
Passo 3
As curvas de nível são dadas por
Para
temos
São parábolas no plano
abrindo para a direita, com vértice em
.
Passo 4
O gradiente de
é o vetor das derivadas parciais:
portanto
Passo 5
Em
temos
e
. Logo
A direção de máximo aumento é a do próprio gradiente, e o versor correspondente é
A taxa de crescimento máxima em
é o módulo de
:
Resposta
(a)
.
(b) As curvas de nível são . Para
obtém-se
(b) As curvas de nível são
sendo parábolas com vértice em
.
(c) . A direção de maior variação é
(c)
e a taxa de crescimento máxima é
.