Considere a função
f(x, y)=raizx-y^2
(a) (0,5) Determine o domínio de f.
(b) (1,0) Determine as equações das curvas de nível de f e esboce as curvas de níveis 0,1 , 2.
(c) (1,0) Determine a direção de maior variação da função a partir do ponto Q=(5,2). Qual é a taxa de crescimento máximo de f em Q ?

Passo 1

O enunciado trata de uma função de duas variáveis
f(x,y)=raizx-y^2,
Vamos (a) encontrar o domínio de definição exigindo que o radicando seja não-negativo; (b) obter as curvas de nível resolvendo f(x,y)=c e desenhar os casos c=0,1,2; (c) usar o gradiente de f para determinar a direção de maior crescimento em Q=(5,2) e a taxa máxima de variação.

Passo 2

Para f(x,y)=raizx-y^2 ser real precisamos de
x-y^2>=0
Logo o domínio é
D=(x,y)mid x>= y^2

Passo 3

As curvas de nível são dadas por
f(x,y)=cLongrightarrow raizx-y^2=c Longrightarrow x-y^2=c^2 Longrightarrow x=y^2+c^2
Para c=0,1,2 temos
c=0:& x=y^2, c=1:& x=y^2+1, c=2:& x=y^2+4
São parábolas no plano xy abrindo para a direita, com vértice em (c^2,0).

Passo 4

O gradiente de f é o vetor das derivadas parciais:
partial fpartial x =12raizx-y^2, partial fpartial y =-yraizx-y^2,
portanto
nabla f(x,y) =l(12raizx-y^2,,-yraizx-y^2r)

Passo 5

Em Q=(5,2) temos 5-2^2=1 e raiz1=1. Logo
nabla f(5,2) =l(tfrac12,,-2r)
A direção de máximo aumento é a do próprio gradiente, e o versor correspondente é
u =nabla f(5,2)|nabla f(5,2)| =l(tfrac12,-2r)raizl(tfrac12r)^2+(-2)^2 =(1,-4)raiz17
A taxa de crescimento máxima em Q é o módulo de nabla f(5,2):
|nabla f(5,2)| =raizl(tfrac12r)^2+(-2)^2 =raiz172

Resposta

(a) D=(x,y)mid x>= y^2.
(b) As curvas de nível são x=y^2+c^2. Para c=0,1,2 obtém-se
x=y^2, x=y^2+1, x=y^2+4,
sendo parábolas com vértice em (c^2,0).
(c) nabla f(5,2)=(tfrac12,-2). A direção de maior variação é
u=(1,-4)raiz17,
e a taxa de crescimento máxima é raiz17/2.

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