Calcule, se existir, os seguintes limites:
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x^{2}+y^{2}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+9}-3}

Passo 1

O enunciado pede o limite
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x^{2}+y^{2}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+9}-3}.
O conteúdo envolve limites em várias variáveis e manipulação algébrica por racionalização de denominador.

Passo 2

Observe que, se definirmos
r^{2}=x^{2}+y^{2},
então a expressão fica
\frac{r^{2}}{\sqrt{r^{2}+9}-3}.
Para simplificar, vamos multiplicar numerador e denominador pelo conjugado \sqrt{r^{2}+9}+3.

Passo 3

Ao multiplicar por \frac{\sqrt{r^{2}+9}+3}{\sqrt{r^{2}+9}+3} obtemos
\frac{r^{2}}{\sqrt{r^{2}+9}-3} \cdot \frac{\sqrt{r^{2}+9}+3}{\sqrt{r^{2}+9}+3} = \frac{r^{2}\bigl(\sqrt{r^{2}+9}+3\bigr)}{(\sqrt{r^{2}+9})^{2}-3^{2}} = \frac{r^{2}\bigl(\sqrt{r^{2}+9}+3\bigr)}{r^{2}} =\sqrt{r^{2}+9}+3.

Passo 4

Quando (x,y)\to(0,0), temos r\to0. Logo
\sqrt{r^{2}+9}+3 \,\longrightarrow\, \sqrt{0+9}+3 =3+3=6.

Resposta

O limite existe e vale 6.

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