Calcule o gradiente das funções abaixo
f(x, y)=x e^{x y} \sin (x)

Passo 1

O enunciado pede o gradiente de f(x,y)=x\,e^{x y}\sin(x). O gradiente é o vetor
\nabla f(x,y)=\bigl(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y}\bigr). Para calcular cada componente, usaremos as regras do produto e da cadeia.

Passo 2

Vamos calcular \frac{\partial f}{\partial x}. Observe que
f(x,y)=\underbrace{x\sin(x)}_{u(x)}\;\cdot\;\underbrace{e^{x y}}_{v(x,y)}.
Pela regra do produto,
\frac{\partial f}{\partial x} = u'(x)\,v(x,y) + u(x)\,\frac{\partial v}{\partial x}.
Aqui
u'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x\sin(x)\bigr)=\sin(x)+x\cos(x),
e
\frac{\partial v}{\partial x} =\frac{\partial}{\partial x}\bigl(e^{x y}\bigr) =y\,e^{x y}.
Substituindo,
\frac{\partial f}{\partial x} =(\sin(x)+x\cos(x))\,e^{x y} + x\sin(x)\,(y\,e^{x y}) =e^{x y}\bigl(\sin(x)+x\cos(x)+x y\sin(x)\bigr).

Passo 3

Agora calculamos \frac{\partial f}{\partial y}. Note que x\sin(x) é constante em relação a y e só e^{x y} depende de y. Assim,
\frac{\partial f}{\partial y} =x\sin(x)\,\frac{\partial}{\partial y}\bigl(e^{x y}\bigr) =x\sin(x)\,(x\,e^{x y}) =x^2\sin(x)\,e^{x y}.

Resposta

\nabla f(x,y) =\bigl(e^{x y}(\sin(x)+x\cos(x)+x y\sin(x)),\;x^2\sin(x)\,e^{x y}\bigr).

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