Calcule, se existir, os seguintes limites:
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{\sin \left(x^{3}+y^{7}+x y\right)}{x^{3}+y^{7}+x y}

Passo 1

O enunciado pede o valor de
\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{\sin\bigl(x^{3}+y^{7}+x y\bigr)}{x^{3}+y^{7}+x y}.
O conteúdo principal é limite de função de duas variáveis. Vamos reduzir o problema a um limite de variável real, usando a expressão
U = x^{3} + y^{7} + x y,
e depois aplicar o limite clássico
\lim_{t\to 0}\frac{\sin t}{t}=1.

Passo 2

Mostramos que \;U = x^{3} + y^{7} + x y\to 0 quando (x,y)\to(0,0). De fato,
|U| \le |x|^{3} + |y|^{7} + |x|\,|y|,
e cada termo |x|^{3}, |y|^{7} e |x|\,|y| vai a zero pois |x|\to0 e |y|\to0. Logo U\to0.

Passo 3

Sabemos que
\lim_{t\to 0}\frac{\sin t}{t}=1.
Como U\to0, pela regra de substituição em limites de várias variáveis (composição de funções contínuas exceto no ponto, mas com limite bem definido), temos
\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{\sin(U)}{U} =\lim_{U\to0}\frac{\sin U}{U}=1.

Resposta

1

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