Calcule o gradiente das funções abaixo
f(x, y, z)=x y sin \left(y z^{2}\right)

Passo 1

O enunciado pede o gradiente da função
f(x,y,z)=x\,y\,\sin\bigl(y z^{2}\bigr).
O gradiente de f é o vetor cujas componentes são as derivadas parciais de f em relação a x, y e z. Para isso, vamos usar a regra do produto e a regra da cadeia.

Passo 2

Calcular \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}.
Trata-se de derivar x\,y em relação a x (mantendo y e z constantes) e multiplicar por \sin(y z^2):
\frac{\partial f}{\partial x} = y \,\sin\bigl(y z^{2}\bigr).

Passo 3

Calcular \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}.
Aqui f=x\,y\,\sin(u) com u=y z^2. Aplicamos a regra do produto em x\,y e em \sin(u), além da cadeia em u:
\frac{\partial f}{\partial y} = x\,\sin\bigl(y z^{2}\bigr) + x\,y\,\cos\bigl(y z^{2}\bigr)\cdot\frac{\partial}{\partial y}(y z^{2}) = x\,\sin\bigl(y z^{2}\bigr) + x\,y\,\cos\bigl(y z^{2}\bigr)\,z^{2}.

Passo 4

Calcular \displaystyle \frac{\partial f}{\partial z}.
Temos f=x\,y\,\sin(u) com u=y z^2. Aplicamos a regra da cadeia para \sin(u) e derivamos u em relação a z:
\frac{\partial f}{\partial z} = x\,y\,\cos\bigl(y z^{2}\bigr)\cdot\frac{\partial}{\partial z}(y z^{2}) = x\,y\,\cos\bigl(y z^{2}\bigr)\cdot(2y z) =2\,x\,y^{2}\,z\,\cos\bigl(y z^{2}\bigr).

Passo 5

Agrupar as derivadas parciais no vetor gradiente:
\nabla f(x,y,z) =\Bigl(\frac{\partial f}{\partial x},\,\frac{\partial f}{\partial y},\,\frac{\partial f}{\partial z}\Bigr).

Resposta

\nabla f(x,y,z) = \Bigl(y\,\sin(y z^{2}),\; x\,\sin(y z^{2})+x\,y\,z^{2}\,\cos(y z^{2}),\; 2\,x\,y^{2}\,z\,\cos(y z^{2})\Bigr).

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