Calcule, se existir, os seguintes limites do tipo
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão pede para calcular o limite quando $ x $ se aproxima de 2 da função
. Estamos lidando com limites e, especificamente, com um caso onde tanto o numerador quanto o denominador se tornam zero quando $ x = 2 $, formando uma indeterminação do tipo
. Para resolver isso, vamos precisar fatorar os polinômios no numerador e no denominador.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar o que acontece quando substituímos $ x = 2 $ na função:
Viu só? Tanto o numerador quanto o denominador dão 0, confirmando a indeterminação
. Isso significa que podemos simplificar a expressão fatorando e cancelando termos comuns.
Passo 3
Vamos começar fatorando o numerador
. Para isso, vamos procurar uma raiz racional usando o Teorema das Raízes Racionais. As possíveis raízes são os divisores de 6 divididos pelos divisores de 1, ou seja, $ \pm1, \pm2, \pm3, \pm6 $.
Testando $ x = 2 $:
Então, $ x - 2 $ é um fator. Agora, vamos fazer a divisão polinomial ou usar a fatoração para encontrar os outros fatores:
Passo 4
Agora, vamos fatorar o denominador
. Como é um polinômio quadrático, podemos usar a fórmula de Bhaskara:
As soluções são:
Então, o denominador pode ser fatorado como:
Passo 5
Agora que temos a fatoração do numerador e do denominador, podemos simplificar a expressão cancelando o fator comum
:
Passo 6
Por fim, vamos calcular o limite da expressão simplificada quando $ x $ se aproxima de 2:
Resposta
O limite é
.