Calcule, se existir, os seguintes limites do tipo 00.
lim x 2 x^3-x-62 x^2+x-10

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão pede para calcular o limite quando $ x $ se aproxima de 2 da função x . Estamos lidando com limites e, especificamente, com um caso onde tanto o numerador quanto o denominador se tornam zero quando $ x = 2 $, formando uma indeterminação do tipo x^3-x-62 x^2+x-10. Para resolver isso, vamos precisar fatorar os polinômios no numerador e no denominador.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar o que acontece quando substituímos $ x = 2 $ na função:
x = 2
Numerador: 2^3 - 2 - 6 = 8 - 2 - 6 = 0
Viu só? Tanto o numerador quanto o denominador dão 0, confirmando a indeterminação Denominador: 2(2)^2 + 2 - 10 = 8 + 2 - 10 = 0 . Isso significa que podemos simplificar a expressão fatorando e cancelando termos comuns.

Passo 3

Vamos começar fatorando o numerador x^3 - x - 6. Para isso, vamos procurar uma raiz racional usando o Teorema das Raízes Racionais. As possíveis raízes são os divisores de 6 divididos pelos divisores de 1, ou seja, $ \pm1, \pm2, \pm3, \pm6 $.
Testando $ x = 2 $:
pm1, pm2, pm3, pm6
Então, $ x - 2 $ é um fator. Agora, vamos fazer a divisão polinomial ou usar a fatoração para encontrar os outros fatores:
x = 2

Passo 4

Agora, vamos fatorar o denominador 2x^2 + x - 10. Como é um polinômio quadrático, podemos usar a fórmula de Bhaskara:
x = -b pm raizb^2 - 4ac2a = -1 pm raiz1 + 804 = -1 pm 94
As soluções são:
x = 84 = 2 e x = -104 = -2.5
Então, o denominador pode ser fatorado como:
2x^2 + x - 10 = (x - 2)(2x + 5)

Passo 5

Agora que temos a fatoração do numerador e do denominador, podemos simplificar a expressão cancelando o fator comum x - 2:
x^3 - x - 62x^2 + x - 10 = (x - 2)(x^2 + 2x + 3)(x - 2)(2x + 5) = x^2 + 2x + 32x + 5

Passo 6

Por fim, vamos calcular o limite da expressão simplificada quando $ x $ se aproxima de 2:
x

Resposta

O limite é 119.

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