Calcule a integral definida, se ela existir:
59-integral0^pi3 sen thetacos ^2 theta d theta

Passo 1

O enunciado pede para calcular a expressão envolvendo uma integral definida: 59 - integral0^pi3 sinthetacos^2theta ,dtheta. O conteúdo principal é integração por substituição e depois avaliar a integral nos limites dados.

Passo 2

Precisamos reconhecer que integral sinthetacos^2theta ,dtheta sugere a substituição u=costheta, pois então du=-sintheta,dtheta. Com isso, sintheta,dtheta=-du e 1cos^2theta=u^-2.
Fazendo a substituição obtemos a integral indefinida:
nabla = integral sinthetacos^2theta ,dtheta = -integral u^-2 ,du = -gl(u^-1-1gr) + C = u^-1 + C = 1costheta + C

Passo 3

Agora avaliamos a integral definida de 0 a pi/3:
integral0^pi3 sinthetacos^2theta ,dtheta = l[secthetar]0^pi3 = secl(tfracpi3r) - sec(0) = 2 - 1 = 1

Passo 4

Por fim, substituímos esse resultado na expressão original: 59 - 1 = 58.

Resposta

58

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