7 Calcule, se existir, o valor máximo da função
na curva
obtida pela interseção das superfícies
e
.
Passo 1
O enunciado pede o valor máximo de
na curva
definida pela interseção das superfícies
e
O conteúdo da matéria é otimização de funções com restrições, mas aqui podemos usar substituição para reduzir a um problema em duas variáveis.
Passo 2
Da segunda superfície temos
Substituindo em
, obtemos a projeção de
no plano
:
Passo 3
Reescrevendo a equação acima como círculo:
Passo 4
Na curva
podemos reescrever
em função de
e
. Como
, temos
Passo 5
Portanto, maximizar
é o mesmo que maximizar
sob a restrição
. Geometricamente, esse é um círculo de raio
centrado em
, então
Passo 6
Logo o valor máximo de
é
Ele ocorre quando
,
e
.