7 Calcule, se existir, o valor máximo da função f(x, y, z)=x+y+z na curva C obtida pela interseção das superfícies z=x^2+y^2 e x+z=1.

Passo 1

O enunciado pede o valor máximo de f(x,y,z)=x+y+z na curva C definida pela interseção das superfícies
z = x^2 + y^2
e
x + z = 1
O conteúdo da matéria é otimização de funções com restrições, mas aqui podemos usar substituição para reduzir a um problema em duas variáveis.

Passo 2

Da segunda superfície temos
z = 1 - x
Substituindo em z = x^2 + y^2, obtemos a projeção de C no plano xy:
x^2 + y^2 = 1 - x

Passo 3

Reescrevendo a equação acima como círculo:
x^2 + x + y^2 = 1 Longrightarrow l(x + tfrac12r)^2 + y^2 = tfrac54

Passo 4

Na curva C podemos reescrever f em função de x e y. Como z=1-x, temos
f = x + y + z = x + y + (1 - x) = 1 + y

Passo 5

Portanto, maximizar f é o mesmo que maximizar y sob a restrição l(x+tfrac12r)^2+y^2=tfrac54. Geometricamente, esse é um círculo de raio tfracraiz52 centrado em l(-tfrac12,0r), então
ymax = raiz52

Passo 6

Logo o valor máximo de f é
fmax = 1 + ymax = 1 + raiz52
Ele ocorre quando y=tfracraiz52, x=-tfrac12 e z=1-x=tfrac32.

Resposta

1+raiz52

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