Exercício 1. Para cada uma das funções polinomiais, determine as raízes, as coordenadas do vértice e faça o esboço do gráfico.
f(x)=4 x^2+2 x-6;

Passo 1

O enunciado pede, para a função quadrática f(x)=4x^2+2x-6, que a gente ache (1) as raízes, (2) as coordenadas do vértice e (3) esboce o gráfico. Para isso vamos usar a fórmula de Bhaskara para raízes, a fórmula do vértice xv=-tfracb2a e a análise de coeficiente a para ver a concavidade.

Passo 2

Para encontrar as raízes usamos a fórmula
x = -b pm raizb^2-4ac2a,
onde a=4, b=2, c=-6. Primeiro o discriminante:
De<a = b^2-4ac = 2^2-4cdot4cdot(-6) = 4 + 96 = 100
Logo
x = -2 pm raiz1002cdot4 = -2 pm 108
Assim as raízes são
x1 = -2 + 108 = 1, x2 = -2 - 108 = -tfrac32

Passo 3

O vértice de uma parábola ax^2+bx+c tem abscissa
xv = -b2a = -22cdot4 = -14
Para achar a ordenada, calculamos
fl(-tfrac14r) = 4l(-tfrac14r)^2 +2l(-tfrac14r) -6 = 4cdottfrac116 - tfrac24 -6 = tfrac14 - tfrac12 - 6 = -tfrac254
Portanto o vértice é
l(xv,yvr) = l(-tfrac14,-tfrac254r)

Passo 4

Como a=4>0, a parábola abre para cima. Os pontos principais são:
  • Raízes em l(-tfrac32,0r) e (1,0).
  • Vértice em l(-tfrac14,-tfrac254r), ponto mínimo.
  • Intercepto em y em f(0)=-6, ou seja (0,-6).
  • Eixo de simetria é a reta x=-tfrac14.
Esboço qualitativo: a parábola desce até o vértice em (-0,25,,-6,25) e sobe cruzando o eixo x em -1,5 e em 1.

Resposta

Raízes: -tfrac32 e 1.
Vértice: l(-tfrac14,-tfrac254r).
Gráfico: parábola voltada para cima, simétrica em x=-tfrac14, passando por (-3/2,0), (1,0) e intercepto em (0,-6).

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