Problema 54 Uma lata cilíndrica deve ter um volume de 200 cm^3. Encontre as dimensões da lata que é feita da menor quantidade de material.

Passo 1

O problema pede as dimensões de uma lata cilíndrica com volume fixo de 200,cm^{3}) que minimizam a quantidade de material. O conteúdo envolvido é otimização de funções usando derivadas: vamos expressar a área de superfície em função de uma só variável, derivar e igualar a zero para achar o mínimo.

Passo 2

Sejam r o raio da base e h a altura do cilindro. A condição de volume é
pi r^2 h = 200
Isolando h, obtemos
h = 200pi r^2

Passo 3

A área total de material (duas bases + lateral) é
A = 2pi r^2 + 2pi r,h
Substituindo h em função de r fica
A(r)=2pi r^2 + 2pi r!(200pi r^2) =2pi r^2 + 400r

Passo 4

Para achar o extremo, calculamos
dAdr =4pi r - 400r^2
e igualamos a zero:
4pi r - 400r^2=0 Longrightarrow 4pi r = 400r^2 Longrightarrow r^3 = 100pi Longrightarrow r = l(tfrac100pir)^1/3
Verificando a segunda derivada,
d^2Adr^2 =4pi + 800r^3>0
mostra que é mínimo.

Passo 5

Substituindo esse r em h=tfrac200pi r^2,
h=200pi,(100/pi)^2/3 =2,(100/pi)^1/3 =2r

Resposta

O raio ótimo é
r=l(tfrac100pir)^1/3 cm,
e a altura é
h=2,l(tfrac100pir)^1/3 cm

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