Problema 54 Uma lata cilíndrica deve ter um volume de
. Encontre as dimensões da lata que é feita da menor quantidade de material.
Passo 1
O problema pede as dimensões de uma lata cilíndrica com volume fixo de
,cm^{3}) que minimizam a quantidade de material. O conteúdo envolvido é otimização de funções usando derivadas: vamos expressar a área de superfície em função de uma só variável, derivar e igualar a zero para achar o mínimo.
Passo 2
Sejam
o raio da base e
a altura do cilindro. A condição de volume é
Isolando
, obtemos
Passo 3
A área total de material (duas bases
lateral) é
Substituindo
em função de
fica
Passo 4
Para achar o extremo, calculamos
e igualamos a zero:
Verificando a segunda derivada,
mostra que é mínimo.
Passo 5
Substituindo esse
em
,
Resposta
O raio ótimo é
e a altura é