Exercício 1. Para cada uma das funções polinomiais, determine as raízes, as coordenadas do vértice e faça o esboço do gráfico.
g(x)=-32 x^2+32.

Passo 1

O enunciado nos dá a função quadrática
g(x) = -32,x^2 + 32
e pede (i) as raízes de g, (ii) as coordenadas do vértice e (iii) um esboço do gráfico. Para isso, usamos:
  • Para as raízes, resolvemos g(x)=0.
  • Para o vértice, aplicamos xv=-tfracb2a e depois yv=g(xv).
  • Para o esboço, identificamos concavidade, pontos críticos e eixos de simetria.

Passo 2

Determinar as raízes de g resolvendo
-32,x^2 + 32 = 0
Multiplicando ambos os lados por 2:
-3,x^2 + 3 = 0 Longrightarrow 3,x^2 = 3 Longrightarrow x^2 = 1 Longrightarrow x = pm 1

Passo 3

Calcular o vértice. Escrevendo g(x)=a,x^2+b,x+c com a=-tfrac32, b=0, c=tfrac32:
xv = -b2a = -02cdot(-tfrac32) = 0,
yv = g(0) = -32cdot 0^2 + 32 = 32
Logo, o vértice é l(0,tfrac32r).

Passo 4

Esboçar o gráfico sabendo que a<0 implica concavidade para baixo. Pontos-chave:
  • Raízes em ,(-1,0) e (1,0).
  • Vértice em l(0,tfrac32r), que é o ponto máximo.
  • Eixo de simetria: reta x=0.
    O gráfico é uma parábola voltada para baixo, passando pelos pontos citados e com máximo em l(0,tfrac32r).

Resposta

Raízes: x = -1 e x = 1.
Vértice: l(0,tfrac32r).
Esboço: parábola com concavidade para baixo, interceptando o eixo x em (-1,0) e (1,0) e alcançando o máximo em l(0,tfrac32r).

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