Calcule, se existir, o valor das seguintes integrais impróprias:
\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\operatorname{arctg}(x)}{x^{2}+1} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral imprópria
\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{\arctan(x)}{x^{2}+1}\,dx.
O conteúdo envolvido é integral imprópria em extremos infinitos, convergência de integrais e propriedades de paridade de funções (pares e ímpares).

Passo 2

Observamos a paridade de cada parte da integranda. A função \arctan(x) é ímpar, pois
\arctan(-x) = -\arctan(x),
enquanto x^{2}+1 é par. Logo, o quociente
f(x)=\frac{\arctan(x)}{x^{2}+1}
é uma função ímpar, pois
f(-x) = \frac{\arctan(-x)}{(-x)^{2}+1} = -\,\frac{\arctan(x)}{x^{2}+1} = -f(x).
Para qualquer A>0, a integral de uma função ímpar num intervalo simétrico satisfaz
\int_{-A}^{A}f(x)\,dx = 0.

Passo 3

É preciso garantir que a integral impropria converge quando A\to\infty. Para \lvert x\rvert grande, temos
\arctan(x)\to \pm\frac{\pi}{2},
de modo que
\frac{\arctan(x)}{x^{2}+1} \sim \frac{\pm\frac{\pi}{2}}{x^{2}}.
Como \displaystyle\int_{R}^{\infty}\frac{dx}{x^{2}} converge, segue que
\int_{R}^{\infty}\frac{\arctan(x)}{x^{2}+1}\,dx \quad\text{e}\quad \int_{-\infty}^{-R}\frac{\arctan(x)}{x^{2}+1}\,dx
são convergentes. Portanto, a integral imprópria sobre (-\infty,\infty) existe.

Passo 4

Como para todo A>0 vale \int_{-A}^{A}f(x)\,dx=0 e o limite A\to\infty existe, concluímos
\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{\arctan(x)}{x^{2}+1}\,dx = 0.

Resposta

0

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