Integrais
I=\int_{1}^{5} \frac{1}{\sqrt{5-x}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral imprópria
I = \int_{1}^{5} \frac{1}{\sqrt{5 - x}} \,dx.
O conteúdo envolvido é o tratamento de singularidade em integral imprópria e uso de mudança de variável para calcular antiderivada.

Passo 2

Observamos que em x=5 o denominador \sqrt{5-x} vai a zero, gerando uma singularidade integrável. Reescrevemos I como limite:
I = \lim_{b \to 5^-} \int_{1}^{b} \frac{1}{\sqrt{5 - x}} \,dx.

Passo 3

Para simplificar, fazemos a mudança de variável
u = 5 - x \quad\Longrightarrow\quad du = -\,dx.
Quando x = 1, u = 4. Quando x = b, u = 5 - b. Assim,
\int_{1}^{b} \frac{1}{\sqrt{5 - x}} \,dx = \int_{u=4}^{u=5-b} \frac{1}{\sqrt{u}} \,(-du) = \int_{u=5-b}^{u=4} \frac{1}{\sqrt{u}} \,du.

Passo 4

Voltando ao limite b \to 5^- temos 5 - b \to 0^+, logo
I = \lim_{b \to 5^-} \int_{5-b}^{4} u^{-\tfrac12}\,du = \int_{0}^{4} u^{-\tfrac12}\,du.
A antiderivada de u^{-\tfrac12} é 2u^{\tfrac12}. Portanto,
\int_{0}^{4} u^{-\tfrac12}\,du = \bigl[2\,u^{\tfrac12}\bigr]_{0}^{4} = 2\sqrt{4} - 2\sqrt{0} = 2\cdot 2 - 0 = 4.

Resposta

4

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