Integrais
I=\int_{2}^{+\infty} \frac{1}{\sqrt{x^{2}-1}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral imprópria
I = \int_{2}^{+\infty} \frac{1}{\sqrt{x^{2}-1}}\,dx
que é um caso clássico de integral imprópria no infinito e de função com primitiva conhecida. Vamos tratar o limite no infinito e achar uma antiderivada de f(x)=1/\sqrt{x^{2}-1}.

Passo 2

Reescrevemos a integral como um limite finito:
I = \lim_{R\to+\infty} \int_{2}^{R} \frac{1}{\sqrt{x^{2}-1}}\,dx.
Assim, basta encontrar a primitiva F(x) de f(x) e depois avaliar entre 2 e R, tomando R\to\infty.

Passo 3

Uma primitiva de f(x)=1/\sqrt{x^{2}-1} é
F(x)=\operatorname{arccosh}(x),
pois sabemos que
\frac{d}{dx}\bigl(\operatorname{arccosh}(x)\bigr) =\frac{1}{\sqrt{x^{2}-1}}.
Em alternativa, podemos usar a forma logarítmica equivalente:
F(x)=\ln\bigl(x+\sqrt{x^{2}-1}\bigr).

Passo 4

Agora avaliamos o limite:
\int_{2}^{R}\frac{dx}{\sqrt{x^{2}-1}} =F(R)-F(2) =\operatorname{arccosh}(R)-\operatorname{arccosh}(2).
Quando R\to+\infty, temos \operatorname{arccosh}(R)\to+\infty. Logo
\lim_{R\to+\infty}\bigl(\operatorname{arccosh}(R)-\operatorname{arccosh}(2)\bigr) =+\infty,
ou seja, a integral diverge.

Resposta

A integral diverge, isto é,
\int_{2}^{+\infty}\frac{1}{\sqrt{x^{2}-1}}\,dx = +\infty.

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