Calcule, se existir, o valor da série de encaixe
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o valor da série infinita:
Aqui, estamos lidando com uma série infinita envolvendo frações algébricas. Para resolver isso, vamos usar o método de frações parciais e observar se a série é telescópica, o que facilita bastante a soma.
Passo 2
Primeiro, vamos fatorar o denominador da fração para simplificar a expressão. O denominador é $ n^{2} + 7n + 12 $. Vamos fatorar esse polinômio:
Então, a fração original fica:
Passo 3
Agora, vamos decompor essa fração usando frações parciais. Queremos encontrar números $ A $ e $ B $ tais que:
Multiplicando ambos os lados por $ (n + 3)(n + 4) $, temos:
Passo 4
Vamos resolver para $ A $ e $ B $. Para isso, escolhemos valores de $ n $ que simplifiquem a equação:
- Se $ n = -4 $:
- Se $ n = -3 $:
Então, temos:
Passo 5
Substituindo de volta na série original, fica:
Podemos separar a série em duas somas:
Passo 6
Agora, vamos ajustar os índices das somas para facilitar a visualização:
Note que a segunda soma começa em $ k = 5 $, então a diferença entre as duas somas será apenas o primeiro termo da primeira soma:
Passo 7
Portanto, a série original simplifica para:
Resposta
O valor da série infinita é 3.