Calcule, se existir, o valor da série de encaixe
sumn=1^infty 12n^2+7 n+12

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o valor da série infinita:
sumn=1^infty 12n^2 + 7n + 12
Aqui, estamos lidando com uma série infinita envolvendo frações algébricas. Para resolver isso, vamos usar o método de frações parciais e observar se a série é telescópica, o que facilita bastante a soma.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador da fração para simplificar a expressão. O denominador é $ n^{2} + 7n + 12 $. Vamos fatorar esse polinômio:
n^2 + 7n + 12
Então, a fração original fica:
n^2 + 7n + 12 = (n + 3)(n + 4)

Passo 3

Agora, vamos decompor essa fração usando frações parciais. Queremos encontrar números $ A $ e $ B $ tais que:
A
Multiplicando ambos os lados por $ (n + 3)(n + 4) $, temos:
B

Passo 4

Vamos resolver para $ A $ e $ B $. Para isso, escolhemos valores de $ n $ que simplifiquem a equação:
  • Se $ n = -4 $:
A
  • Se $ n = -3 $:
B
Então, temos:
n

Passo 5

Substituindo de volta na série original, fica:
sumn=1^infty ( 12n + 3 - 12n + 4 )
Podemos separar a série em duas somas:
12 sumn=1^infty 1n + 3 - 12 sumn=1^infty 1n + 4

Passo 6

Agora, vamos ajustar os índices das somas para facilitar a visualização:
12 ( sumk=4^infty 1k - sumk=5^infty 1k )
Note que a segunda soma começa em $ k = 5 $, então a diferença entre as duas somas será apenas o primeiro termo da primeira soma:
k = 5

Passo 7

Portanto, a série original simplifica para:
12 times 14 = 3

Resposta

O valor da série infinita é 3.

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