Resolva os sistemas e interprete geometricamente:
ly^2=x+1 4 x^2+y^2=4

Passo 1

Estamos resolvendo o sistema formado pela parábola y^2 = x + 1 e pela elipse 4x^2 + y^2 = 4. O conteúdo é interseção de cônicas, e vamos usar substituição de variáveis para reduzir a equação.

Passo 2

Da primeira equação isolamos x: x = y^2 - 1. Substituindo em
4x^2 + y^2 = 4
com x = y^2 - 1 resulta em
4(y^2 - 1)^2 + y^2 = 4, que expande para
4y^4 - 8y^2 + 4 + y^2 - 4 = 0
e simplifica para 4y^4 - 7y^2 = 0.

Passo 3

Fatoramos a expressão em y^2(4y^2 - 7) = 0, de onde obtemos y^2 = 0 (logo y = 0) ou 4y^2 - 7 = 0 (logo y^2 = tfrac74, ou y = pm tfracraiz72).

Passo 4

Usando x = y^2 - 1 para cada valor de y, para y = 0 vem x = -1, e para y = pm tfracraiz72 vem x = tfrac34. Assim, os pontos de interseção são (-1, 0), l(tfrac34, tfracraiz72r) e l(tfrac34, -tfracraiz72r).

Passo 5

Geometricamente, y^2 = x + 1 é uma parábola com vértice em (-1,0) abrindo para a direita, e 4x^2 + y^2 = 4 é uma elipse centrada na origem. O ponto (-1,0) é ponto de tangência (interseção dupla) e os outros dois pontos são interseções simples simétricas em relação ao eixo x.

Resposta

Os pontos de interseção são (-1,0), l(tfrac34, tfracraiz72r) e l(tfrac34, -tfracraiz72r). Geometricamente, a parábola e a elipse têm tangência em (-1,0) e duas interseções simétricas restantes.

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