Nos exercícios de 1 a 10 , calcular a integral e, em seguida, derivar as respostas para conferir os resultados.
integral(x-1)^2(x+1)^2 d x

Passo 1

O enunciado pede pra calcular a integral integral (x-1)^2(x+1)^2,dx e depois derivar o resultado pra conferir. O conteúdo aqui é integração de polinômios e derivação para verificação.

Passo 2

Primeiro, a gente simplifica o integrando. Note que (x-1)^2(x+1)^2 = [(x-1)(x+1)]^2 = (x^2 - 1)^2. Expandindo, fica:
(x^2 - 1)^2 = x^4 - 2x^2 + 1

Passo 3

Agora integramos termo a termo:
  • integral x^4,dx = dfracx^55
  • integral (-2x^2),dx = -2 cdot dfracx^33 = -dfrac2x^33
  • integral 1,dx = x.
    Portanto a antiderivada é:
F(x) = x^55 - 2x^33 + x + C

Passo 4

Pra conferir, derivamos F(x):
F'(x) = ddxl(x^55r) - ddxl(2x^33r) + ddx(x) = x^4 - 2x^2 + 1
E x^4 - 2x^2 + 1 = (x^2-1)^2 = (x-1)^2(x+1)^2, que é exatamente o integrando. Tudo confere!

Resposta

F(x)=dfracx^55-dfrac2x^33+x+C

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