Decida quais afirmações são verdadeiras:
x-1x-2>2 Long<=ftrightarrow x-2x-1<12

Passo 1

A questão pede para decidir se a equivalência entre as inequações x-1x-2>2 e x-2x-1 é verdadeira. O conteúdo é inequações racionais: precisamos resolver cada uma separadamente e comparar seus conjuntos-solução.

Passo 2

Vamos resolver primeiro x-1x-2>2. Subtraindo 2 de ambos os lados e colocando numa única fração, temos
x-1x-2 - 2 > 0
x-1 - 2(x-2)x-2 > 0
-x + 3x-2 > 0 ;Long<=ftrightarrow; x-3x-2 < 0
Analisando o sinal, encontramos solução xin(2,3), lembrando de excluir x=2.

Passo 3

Agora resolvemos x-2x-1. Fazemos o mesmo: subtrai-se tfrac12 e unifica-se em uma fração,
x-2x-1 - tfrac12 < 0
2(x-2)-(x-1)2(x-1) < 0
x-32(x-1) < 0 ;Long<=ftrightarrow; x-3x-1 < 0
Dessa forma obtemos xin(1,3), excluindo x=1.

Passo 4

Comparando os resultados, a primeira inequação vale para xin(2,3) e a segunda para xin(1,3). Como (2,3)neq(1,3), as duas inequações não são equivalentes.

Resposta

A equivalência é falsa, pois os conjuntos-solução são diferentes: primeiro dá (2,3) e segundo dá (1,3).

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