Calcule, quando existirem, justificando as respostas, o seguinte limite:
lim x pi4 sen x-cos x1-tg x

Passo 1

Vamos calcular . O conteúdo aqui é limite de funções trigonométricas e vamos precisar reconhecer formas indeterminadas e usar identidades trigonométricas para simplificar.

Passo 2

Primeiro, avaliamos numerador e denominador no ponto x = pi/4 para ver se temos alguma indeterminação. Calculando:
sinl(pi4r) - cosl(pi4r) = raiz22 - raiz22 = 0,

Como obtemos 1 - tgl(pi4r) = 1 - 1 = 0, isto é uma forma indeterminada. Então precisamos manipular a expressão antes de passar o limite.

Passo 3

Usamos duas identidades trigonométricas. Primeiro, note que
sin x - cos x = raiz2,sinl(x - tfracpi4r)
E também podemos reescrever o denominador assim:

Passo 4

Substituindo essas expressões na fração original, temos:

Agora cancelamos sin x - cos x1 - tg x = sin x - cos x-sin x - cos xcos x = -l(sin x - cos xr)cdotcos xsin x - cos x (válido porque no limite não estamos exatamente em sin x - cos x, apenas nos aproximando), sobrando
x=pi/4

Passo 5

Portanto, o limite passa a ser
limxtopi/4 -cos x = -cosl(tfracpi4r) = -raiz22

Resposta

-\frac{\sqrt2}{2}

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