Resolva utilizando as fórmulas dadas para o produto e potências de seno e cosseno.
integral sen(7 x) cdot cos (2 x) d x

Passo 1

O exercício pede para calcular a integral integral sin(7x)cos(2x),dx. O conteúdo envolvido é integração de produtos de funções trigonométricas, e vamos usar a fórmula de produto-para-soma para senos e cossenos.

Passo 2

A fórmula de produto-para-soma que vamos usar é:
sin(A)cos(B)=tfrac12l[sin(A+B)+sin(A-B)r]
Aplicando essa fórmula ao nosso integrando com A=7x e B=2x obtemos:
sin(7x)cos(2x)=tfrac12l[sin(7x+2x)+sin(7x-2x)r]=tfrac12l[sin(9x)+sin(5x)r]
Substituímos na integral e separamos:
$$\int \sin(7x)\cos(2x),dx=\int \tfrac12\bigl[\sin(9x)+\sin(5x)\bigr]dx
=\tfrac12\int \sin(9x),dx+\tfrac12\int \sin(5x),dx$$

Passo 3

Agora usamos que integral sin(kx),dx=-tfrac1kcos(kx)+C. Assim:
tfrac12integral sin(9x),dx=-tfrac12cdottfrac19cos(9x)=-tfrac118cos(9x)
tfrac12integral sin(5x),dx=-tfrac12cdottfrac15cos(5x)=-tfrac110cos(5x)
Juntando tudo, a primitiva fica:
$$
-\tfrac1{18}\cos(9x)-\tfrac1{10}\cos(5x)+C
$$

Resposta

-\tfrac{1}{18}\cos(9x)-\tfrac{1}{10}\cos(5x)+C

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