Calcule a integral integral 7(raiz25-x^2)^3 d x.

Passo 1

No enunciado, temos a integral indefinida integral 7l(raiz25 - x^2r)^3,dx. Esse é um caso clássico de integração usando substituição trigonométrica, pois aparece raiza^2 - x^2.

Passo 2

Vamos fazer a substituição trigonométrica x = 5sintheta. Assim, temos
x &= 5sintheta, dx &= 5costheta,dtheta, raiz25 - x^2 &= raiz25 - 25sin^2theta = 5costheta

Passo 3

Substituindo na integral, note que
7l(raiz25 - x^2r)^3,dx = 7 cdot 1(5costheta)^3,l(5costheta,dthetar) = 7125cdot 5costhetacos^3theta,dtheta = 725sec^2theta,dtheta
Agora integramos sec^2theta, pois sabemos que ddtheta(tantheta)=sec^2theta. Logo,
integral 725sec^2theta,dtheta = 725tantheta + C
Falta voltar para x. Como x=5sintheta, temos tantheta=dfracsinthetacostheta=dfracx/5raiz1-sin^2theta=dfracxraiz25 - x^2. Substituindo,
725tantheta + C = 725cdotxraiz25 - x^2 + C

Resposta

7x25raiz25 - x^2 + C

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