Estabeleça o domínio da função abaixo e explique, usando propriedades de funções contínuas, por que a função é contínua em todo seu domínio.
f(x)=e^x sen(5 x)

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o conjunto de todos os valores de x para os quais a função f(x)=e^{x}\sin(5x) está definida e, em seguida, mostrar que f é contínua nesse domínio usando propriedades de funções contínuas.

Passo 2

Para determinar o domínio, observamos que a função exponencial e^x está definida para todo x real e a função seno sen(5x) também está definida para todo x real. Como a função f é o produto de duas funções definidas em todos os reais, seu domínio é o conjunto de todos os números reais, isto é, R.

Passo 3

Para a continuidade, usamos que:
  1. A função exponencial xmapsto e^x é contínua em R.
  2. A função afim xmapsto 5x é contínua em R.
  3. A função seno xmapsto sin(x) é contínua em R.
  4. A composição de funções contínuas é contínua, então xmapsto sin(5x) é contínua em R.
  5. O produto de duas funções contínuas é contínuo, logo f(x)=e^xsin(5x) é contínua em R.

Resposta

O domínio é R e, por ser produto de funções contínuas, f é contínua em todo esse domínio.

Exercícios relacionados