Estabeleça o domínio da função abaixo e explique, usando propriedades de funções contínuas, por que a função é contínua em todo seu domínio.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar o conjunto de todos os valores de x para os quais a função f(x)=e^{x}\sin(5x) está definida e, em seguida, mostrar que f é contínua nesse domínio usando propriedades de funções contínuas.
Passo 2
Para determinar o domínio, observamos que a função exponencial e^x está definida para todo x real e a função seno sen(5x) também está definida para todo x real. Como a função f é o produto de duas funções definidas em todos os reais, seu domínio é o conjunto de todos os números reais, isto é,
.
Passo 3
Para a continuidade, usamos que:
- A função exponencial
é contínua em . - A função afim
é contínua em . - A função seno
é contínua em . - A composição de funções contínuas é contínua, então
é contínua em . - O produto de duas funções contínuas é contínuo, logo
é contínua em .
Resposta
O domínio é
e, por ser produto de funções contínuas, f é contínua em todo esse domínio.