Calcule, quando existirem, justificando as respostas, os seguintes limites:
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
Passo 1
O enunciado pede para calcular, com justificativa, oito limites envolvendo funções trigonométricas quando x tende a 0 ou a outros valores. O conteúdo que vamos usar inclui o limite fundamental de seno e tangente, desenvolvimento em série de Taylor para coseno (e para sin x quando preciso), propriedade de funções limitadas multiplicadas por termos que tendem a zero, além, se necessário, da regra de L’Hôpital.
Passo 2
Antes de começar cada cálculo, vamos recorrer às seguintes ferramentas básicas:
- Limite fundamental de seno:
2) Limite fundamental de tangente:
- Expansão em série de Taylor para coseno até segunda ordem:
4) Se uma função f(x) é limitada e g(x)→0, então f(x)·g(x)→0.
Passo 3
Usando o resultado
, definimos
. Então
Passo 4
Para
, usamos
. Assim
Passo 5
Em
, invertendo o caso (a), temos
, logo
Passo 6
Para
, usamos a expansão
. Logo
Passo 7
No caso
, sabemos que
é limitada entre
e
, então
portanto o limite é 0.
Passo 8
Para , fazemos expansão em torno de
. Escrevendo
com
,
Dividindo
Passo 9
Para
, usamos as séries:
Logo
portanto
Passo 10
No limite
temos forma
. Podemos simplificar algébrica ou usar Taylor/L’Hôpital. Um jeito rápido é escrever
Avaliando em
Resposta
a) 3 b) 1/2 c) 2/3 d) 1/2 e) 0 f) 2/\pi g) 0 h) -\sqrt{2}/2