Calcule, quando existirem, justificando as respostas, os seguintes limites:
(a)
lim x 0 sen(3 x)x
(b)
lim x 0 tg x2 x
©
lim x 0 2 xsen(3 x)
(d)
lim x 0 1-cos xx^2
(e)
lim x 0 x^2 cos (1x)
(f)
lim x 1 1-x^2sen(pi x)
(g)
lim x 0 x-sen xx+sen x
(h)
lim x pi4 sen x-cos x1-tg x

Passo 1

O enunciado pede para calcular, com justificativa, oito limites envolvendo funções trigonométricas quando x tende a 0 ou a outros valores. O conteúdo que vamos usar inclui o limite fundamental de seno e tangente, desenvolvimento em série de Taylor para coseno (e para sin x quando preciso), propriedade de funções limitadas multiplicadas por termos que tendem a zero, além, se necessário, da regra de L’Hôpital.

Passo 2

Antes de começar cada cálculo, vamos recorrer às seguintes ferramentas básicas:
  1. Limite fundamental de seno:
limuto0sin uu=1
2) Limite fundamental de tangente:
limuto0tan uu=1
  1. Expansão em série de Taylor para coseno até segunda ordem:
cos u=1-u^22+o(u^2)
4) Se uma função f(x) é limitada e g(x)→0, então f(x)·g(x)→0.

Passo 3

Usando o resultado limuto0sin uu=1, definimos u=3x. Então
sin(3x)x=3cdotsin(3x)3xto3cdot1=3

Passo 4

Para limxto0tan x2x, usamos tan xsim x. Assim
tan x2xsimx2x=12

Passo 5

Em limxto02xsin(3x), invertendo o caso (a), temos sin(3x)sim3x, logo
2xsin(3x)sim2x3x=23

Passo 6

Para limxto01-cos xx^2, usamos a expansão 1-cos xsimx^22. Logo
1-cos xx^2simx^22x^2=12

Passo 7

No caso limxto0x^2cosl(1/xr), sabemos que cos(1/x) é limitada entre -1 e 1, então
|x^2cos(1/x)|<= x^2to0,
portanto o limite é 0.

Passo 8

Para , fazemos expansão em torno de limxto11-x^2sin(pi x). Escrevendo x=1 com x=1+h,
hto0
1-x^2=1-(1+h)^2=-(2h+h^2)sim-2h,
Dividindo
sin(pi x)=sin[pi(1+h)]=sin(pi+pi h)=-sin(pi h)sim-pi h

Passo 9

Para limxto0x-sin xx+sin x, usamos as séries:
sin x=x-x^36+o(x^3)
Logo
x-sin xsimx^36, x+sin xsim2x,
portanto
x-sin xx+sin xsimx^362x=x^212to0

Passo 10

No limite limxtopi4sin x-cos x1-tan x temos forma 0/0. Podemos simplificar algébrica ou usar Taylor/L’Hôpital. Um jeito rápido é escrever
sin x-cos x1-tan x = sin x-cos xcos x-sin xcos x = -cos x
Avaliando em x=pi/4
-cos(pi/4)=-raiz22

Resposta

a) 3 b) 1/2 c) 2/3 d) 1/2 e) 0 f) 2/\pi g) 0 h) -\sqrt{2}/2

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