Verifique se as EDO’s abaixo são ou não homogêneas; em caso afirmativo, forneça uma solução e classifique-a como explícita ou implícita:
y d xd y=x+4 y e^-2 xy

Passo 1

O enunciado nos dá a EDO
y,dxdy=x+4y,e^-2xy
e pede para verificar se é homogênea e, em caso afirmativo, resolver. O conteúdo envolvido é o de equações diferenciais de primeira ordem homogêneas, que admitem substituição da forma
u=xy

Passo 2

Dividindo por y, escrevemos
dxdy=xy+4,e^-2xy
O lado direito depende apenas de
u=xy,
portanto a EDO é homogênea de primeira ordem.

Passo 3

Fazendo a troca
u=xyLongrightarrow x=u,y,
temos
dxdy=u + ydudy
Substituindo na EDO obtém-se
u + ydudy = u + 4,e^-2u
e, ao cancelar u,
ydudy=4,e^-2u

Passo 4

Separamos variáveis:
e^2u,du = 4,dyy
Integrando ambos os lados,
integral e^2u,du = integral 4,dyy ;Longrightarrow; 12e^2u = 4lnlvert yrvert + C

Passo 5

Multiplicando por 2 e reescrevendo a constante,
e^2u=8lnlvert yrvert + C1
Voltando a x e y via u=tfracxy, a solução implícita fica
e^2xy=C1+8lnlvert yrvert

Resposta

A EDO é homogênea. Uma solução implícita é
e^2xy=C+8lnlvert yrvert,
portanto classificada como implícita.

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