Engenheiros ambientais verificaram que, em um determinado pais, o número de relatório ambientais emitidos nos primeiros t dias do mês é dado por
f(t)=5\left(t^{3}+t\right)
Determine:
(a) Qual a razão média de emissões nos 10 primeiros dias do mês?
(b) Quantos relatórios ambientais são emitidos no 15^{Q} dia do mês?
(c) Qual a razão de emissões no 20^{\circ} dia?

Passo 1

O enunciado dá a função cumulative de relatórios
f(t)=5\bigl(t^{3}+t\bigr)
para os primeiros t dias. Pede-se:
(a) a razão média de emissões nos 10 primeiros dias;
(b) quantos relatórios são emitidos no 15º dia;
(c) a razão de emissões no 20º dia.
Conteúdos necessários: taxa média de variação e taxa instantânea (derivada).

Passo 2

A razão média de variação de f entre t_{1} e t_{2} é
\frac{f(t_{2})-f(t_{1})}{t_{2}-t_{1}}.
Para t_{1}=0 e t_{2}=10, temos
\frac{f(10)-f(0)}{10-0}.

Passo 3

Calculemos
f(10)=5\bigl(10^{3}+10\bigr)=5\cdot1010=5050, \qquad f(0)=0.
Logo a razão média é
\frac{5050-0}{10}=505
relatórios por dia.

Passo 4

A taxa instantânea num dia t vem da derivada
f'(t) =\frac{d}{dt}\bigl[5(t^{3}+t)\bigr] =5\bigl(3t^{2}+1\bigr) =15t^{2}+5.

Passo 5

No 15º dia, a emissão é
f'(15)=15\cdot15^{2}+5=15\cdot225+5=3375+5=3380.

Passo 6

No 20º dia, a emissão é
f'(20)=15\cdot20^{2}+5=15\cdot400+5=6000+5=6005.

Resposta

(a) 505 relatórios por dia.
(b) 3380 relatórios no 15º dia.
(c) 6005 relatórios no 20º dia.

Exercícios relacionados