Exercício 5 (D.2.3.1)
Verifique as seguintes relações:
(Observação: Estas são as relações análogas a
integral-pi^pi e^i(n-m) x d x=2 pi de<am n, provadas em sala de aula)
integral-pi^pi cos (n x) cos (m x) d x=de<am n pi.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar a ortogonalidade dos cossenos em [-pi,pi], ou seja, provar que
integral-pi^picos(n x)cos(m x),dx=pi,de<amn,
onde de<amn é o delta de Kronecker. O conteúdo envolvido é identidade trigonométrica e cálculo de integrais de cosseno em intervalo simétrico.

Passo 2

Usamos a identidade
cos(n x)cos(m x) =tfrac12l[cosl((n-m)xr)+cosl((n+m)xr)r]
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integral-pi^picos(n x)cos(m x),dx =tfrac12integral-pi^picosl((n-m)xr),dx +tfrac12integral-pi^picosl((n+m)xr),dx

Passo 3

Para inteiro kneq0 vale
integral-pi^picos(kx),dx =l[tfracsin(kx)kr]-pi^pi =sin(kpi)-sin(-kpi)k=0,
e para k=0
integral-pi^picos(0cdot x),dx =integral-pi^pi1,dx =2pi

Passo 4

No nosso caso k1=n-m e k2=n+m. Se nneq m então k1neq0 e k2neq0, logo ambas as integrais são zero. Se n=m então k1=0 (gera 2pi) e k2=2nneq0 (gera 0). Assim
integral-pi^picos(n x)cos(m x),dx =tfrac12,(2pide<anm+0) =pi,de<amn

Resposta

integral-pi^picos(n x)cos(m x),dx=pi,de<amn

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