Calcule, se existirem, os limites abaixo.
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Passo 1
O enunciado pede para calcular o limite de uma função de três variáveis conforme (x,y,z)→(0,0,0). O conteúdo aqui é limites em várias variáveis, e vamos precisar usar o critério de caminhos: se o limite existir, deve dar o mesmo valor por qualquer trajetória de aproximação.
Passo 2
Para testar a dependência de caminho, escolhemos o plano z=0. Nesse caso a função fica
Ou seja, restringimos (x,y,z)→(0,0,0) ao plano z=0.
Passo 3
Agora parametrize no plano z=0 pela reta y=mx, com m constante. Substituindo em f(x,y,0) temos
Quando x→0 esse valor permanece
, que depende de m.
Passo 4
Como o limite depende de m (por exemplo, para m=0 dá 0, para m=1 dá 1/2), não existe um único valor. Logo o limite original não existe.
Resposta
O limite não existe.