Calcule, se existirem, os limites abaixo.
® lim (x, y, z) (0,0,0) x y+y z^2+x z^2x^2+y^2+z^4.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite de uma função de três variáveis conforme (x,y,z)→(0,0,0). O conteúdo aqui é limites em várias variáveis, e vamos precisar usar o critério de caminhos: se o limite existir, deve dar o mesmo valor por qualquer trajetória de aproximação.

Passo 2

Para testar a dependência de caminho, escolhemos o plano z=0. Nesse caso a função fica
f(x,y,0)=xyx^2+y^2
Ou seja, restringimos (x,y,z)→(0,0,0) ao plano z=0.

Passo 3

Agora parametrize no plano z=0 pela reta y=mx, com m constante. Substituindo em f(x,y,0) temos
f(x,mx,0)=xcdot (mx)x^2+(mx)^2=m x^2x^2(1+m^2)=m1+m^2
Quando x→0 esse valor permanece m/(1+m^2), que depende de m.

Passo 4

Como o limite depende de m (por exemplo, para m=0 dá 0, para m=1 dá 1/2), não existe um único valor. Logo o limite original não existe.

Resposta

O limite não existe.

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