Encontre c in[a, b] tal que (b-a) f(c)=integrala^b f(x) d x, para:
(b) f(x)=x^2+1x,[a, b]=[1,3]

Passo 1

O enunciado pede para achar um ponto c em [1, 3] tal que
(3-1),f(c)=integral1^3f(x),dx
para a função f(x)=x^2+tfrac1x. O conteúdo aqui é o Teorema do Valor Médio para integrais (valor médio de uma função em um intervalo) e vamos precisar integrar x^2+1/x e depois resolver a equação que define c.

Passo 2

Primeiro, calculamos a integral
integral1^3l(x^2+tfrac1xr),dx =integral1^3x^2,dx+integral1^3tfrac1x,dx
Usando antiderivadas:
integral x^2,dx=tfracx^33, integraltfrac1x,dx=ln x
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integral1^3(x^2+tfrac1x),dx =l[tfracx^33+ln xr]1^3 =l(tfrac273+ln3r)-l(tfrac13+ln1r) =tfrac263+ln3

Passo 3

Pelo Teorema do Valor Médio para integrais, existe cin[1,3] tal que
$$2,f©=\int_{1}^{3}f(x),dx
2,f(c)=integral1^3f(x),dx f©=\tfrac{1}{2}\Bigl(\tfrac{26}{3}+\ln3\Bigr)
=\tfrac{13}{3}+\tfrac12\ln3.
$$

Passo 4

Agora impomos f(c)=c^2+tfrac1c. Então:
$$c^2+\tfrac1c=\tfrac{13}{3}+\tfrac12\ln3.
c^2+tfrac1c=tfrac133+tfrac12ln3 ôc^3-\Bigl(\tfrac{13}{3}+\tfrac12\ln3\Bigr)c+1=0.
$$
Procuramos a raiz real desse polinômio em [1,3].

Passo 5

Fazendo uma aproximação numérica (por tentativa ou método de Newton) encontramos que a única raiz em [1,3] é
$$c\approx2{,}10.
$$

Resposta

capprox2,10

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