Calcule as integrais a seguir utilizando somas de Riemann e o Teorema Fundamental do Cálculo. Além disso, tente dar uma interpretação em termos de áreas para o resultado.
(a) integral0^1 raiz1-x^2 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular integral0^1raiz1-x^2,dx usando somas de Riemann e o Teorema Fundamental do Cálculo, e ainda dar interpretação em termos de área. Vamos precisar entender a definição de soma de Riemann, reconhecer o gráfico de y=raiz1-x^2 e aplicar o Teorema Fundamental para obter um valor exato.

Passo 2

Para ver como a soma de Riemann se encaixa, imagine um particionamento de [0,1] em n subintervalos de largura De. Em cada subintervalo escolhemos um ponto xi^* e formamos a soma
Sn=sumi=1^nraiz1-(xi^*)^2;De

Passo 3

No limite quando ntoinfty, essa soma converge exatamente para integral0^1raiz1-x^2,dx. Geometricamente, o gráfico de y=raiz1-x^2 é a semicircunferência superior de raio 1, e de x=0 a x=1 corresponde a um quarto de círculo de raio 1. Logo,
integral0^1raiz1-x^2,dx=área do quarto de círculo de raio 1=pi,1^24=pi4áí

Passo 4

Para confirmar com o Teorema Fundamental do Cálculo, encontramos uma antiderivada F(x) de f(x)=raiz1-x^2. Um cálculo leva a
F(x)=x2raiz1-x^2+12arcsin(x)

Passo 5

integral0^1raiz1-x^2,dx=F(1)-F(0)=l(0+tfrac12cdottfracpi2r)-0=pi4

Resposta

pi4

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