Encontre a solução geral da seguinte equação diferencial linear de primeira ordem
y^prime(t)+t y(t)=5 t

Passo 1

Este exercício pede para encontrar a solução geral da equação diferencial linear de primeira ordem y'(t) + t,y(t) = 5t. O conteúdo envolve EDOs lineares e vamos usar fator integrante para resolver.

Passo 2

Identificamos na forma y' + p(t)y = g(t) que p(t)=t e g(t)=5t. O fator integrante mu(t) é dado por mu(t)=expl(integral p(t),dtr).

Passo 3

Calculamos o fator integrante:
mu(t)=expl(integral t,dtr)=expl(t^2/2r)

Passo 4

Multiplicamos a equação original por mu(t), obtendo
expl(t^2/2r)y' + texpl(t^2/2r)y = 5texpl(t^2/2r)
O lado esquerdo é a derivada de exp(t^2/2)y, ou seja
ddtl[exp(t^2/2)yr] = 5texp(t^2/2)

Passo 5

Agora integramos ambos os lados em relação a t:
integral ddtl[exp(t^2/2)yr],dt = integral 5texp(t^2/2),dt
No lado direito usamos a substituição u=t^2/2, então du=t,dt e
integral 5texp(t^2/2),dt = 5integral exp(u),du = 5exp(u) + C = 5exp(t^2/2) + C

Passo 6

Logo temos
exp(t^2/2)y = 5exp(t^2/2) + C
Basta isolar y dividindo por exp(t^2/2).

Resposta

y(t) = 5 + C,e^-t^2/2

Exercícios relacionados