Calcule, quando existirem, os limites abaixo:
lim x 1 sin (3 x^2-5 x+2)x^2+x-2

Passo 1

O enunciado pede calcular
L = limxto1 sinl(3x^2-5x+2r)x^2+x-2
O conteúdo é cálculo de limite envolvendo forma indeterminada tfrac00, para a qual podemos usar a regra de L’Hôpital ou série de Taylor.

Passo 2

Avaliaremos numerador e denominador em x=1:
3cdot1^2-5cdot1+2 = 0 Longrightarrow sin(0)=0,
1^2+1-2 = 0
Como dá 0/0, configuramos uma indeterminação e aplicamos a regra de L’Hôpital.

Passo 3

Pela regra de L’Hôpital, derivamos numerador e denominador:
derivada do numerador
ddxl[sinl(3x^2-5x+2r)r] = cosl(3x^2-5x+2r)cdot(6x-5),
derivada do denominador
ddxl[x^2+x-2r] = 2x+1
Então
L = limxto1 cosl(3x^2-5x+2r),(6x-5)2x+1

Passo 4

Substituindo x=1 na expressão acima:
3cdot1^2-5cdot1+2 = 0 Longrightarrow cos(0)=1,
6cdot1-5 = 1,
2cdot1+1 = 3
Logo
L = 1cdot13 = 13

Resposta

13

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