Calcule, quando existirem, os limites abaixo:
lim x 0 sin ^3(x) sin (1x)x^2

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
limxto0sin^3(x),sinl(tfrac1xr)x^2
O conteúdo principal aqui é o Teorema do Confronto (ou Teorema do Aperto), junto com as desigualdades básicas de sin.

Passo 2

Observamos que para todo t vale
l|sin(t)r|<=1
Logo,
l|sinl(tfrac1xr)r|<=1

Passo 3

Também sabemos que para todo x próximo de zero
l|sin(x)r|<=|x|,
portanto
l|sin^3(x)r|=l|sin(x)r|^3<=|x|^3

Passo 4

Combinando as desigualdades temos
|sin^3(x),sinl(tfrac1xr)x^2| <=l|sin^3(x)r|x^2 <=|x|^3x^2 =|x|
Como limxto0|x|=0, pelo Teorema do Confronto segue que
limxto0sin^3(x),sinl(tfrac1xr)x^2=0

Resposta

O limite existe e vale 0.

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