Verifique que o Teorema de Schwarz (Teorema de Clairaut) se aplica nas seguintes funções u(x, y), ou seja, verifique que partial^2 upartial x partial y=partial^2 upartial y partial x.
u=ln (x+2 y)

Passo 1

O enunciado nos pede para verificar que a função
u(x,y)=ln(x+2y)
satisfaz as condições do Teorema de Schwarz (ou de Clairaut), ou seja, que as derivadas parciais de segunda ordem mistas são iguais:
partial^2 upartial xpartial y =partial^2 upartial ypartial x
Para isso, vamos:
  1. Identificar o domínio de u.
  2. Calcular partial u/partial x e então partial^2 u/(partial y,partial x).
  3. Calcular partial u/partial y e então partial^2 u/(partial x,partial y).
  4. Verificar a igualdade.

Passo 2

O domínio natural de
u(x,y)=ln(x+2y)
é o conjunto aberto
D=(x,y)in R^2mid x+2y>0,
pois precisamos de x+2y>0 para a função logaritmo estar bem definida. Nesse domínio, u é C^2 (duas vezes continuamente diferenciável), pois as operações envolvidas ( ln e soma) preservam a continuidade e a diferenciabilidade.

Passo 3

Calculemos primeiro
partial upartial x =partialpartial xln(x+2y) =1x+2y
Agora derivamos esse resultado em relação a y:
partial^2 upartial y,partial x =partialpartial yl(1x+2yr) =-2(x+2y)^2

Passo 4

Agora calculemos
partial upartial y =partialpartial yln(x+2y) =2x+2y
Derivando esse resultado em relação a x, obtemos
partial^2 upartial x,partial y =partialpartial xl(2x+2yr) =-2(x+2y)^2

Passo 5

Comparando os dois resultados, vemos que
partial^2 upartial y,partial x =-2(x+2y)^2 e partial^2 upartial x,partial y =-2(x+2y)^2
Como as derivadas mistas coincidem em todo o domínio D, o Teorema de Schwarz se aplica.

Resposta

partial^2 upartial xpartial y =partial^2 upartial ypartial x =-2(x+2y)^2

Exercícios relacionados