Verifique que o Teorema de Schwarz (Teorema de Clairaut) se aplica nas seguintes funções
, ou seja, verifique que
.
Passo 1
O enunciado nos pede para verificar que a função
satisfaz as condições do Teorema de Schwarz (ou de Clairaut), ou seja, que as derivadas parciais de segunda ordem mistas são iguais:
Para isso, vamos:
- Identificar o domínio de
. - Calcular
e então . - Calcular
e então . - Verificar a igualdade.
Passo 2
O domínio natural de
é o conjunto aberto
pois precisamos de
para a função logaritmo estar bem definida. Nesse domínio,
é
(duas vezes continuamente diferenciável), pois as operações envolvidas (
e soma) preservam a continuidade e a diferenciabilidade.
Passo 3
Calculemos primeiro
Agora derivamos esse resultado em relação a
:
Passo 4
Agora calculemos
Derivando esse resultado em relação a
, obtemos
Passo 5
Comparando os dois resultados, vemos que
Como as derivadas mistas coincidem em todo o domínio
, o Teorema de Schwarz se aplica.