Calcule, quando existirem, os limites abaixo:
lim x 1^+ raizx^2-1+raizx-1raizx-1

Passo 1

O enunciado pede
limxto1^+raizx^2-1+raizx-1raizx-1,
que é uma forma do tipo 0/0. Vamos usar a substituição x=1+h com hto0^+ e depois separar o quociente em parcelas mais simples e avaliar cada uma.

Passo 2

Fazendo x=1+h com h>0 e hto0, temos
raizx^2-1 = raiz(1+h)^2-1 = raiz2h+h^2, raizx-1=raizh, raizx-1=raiz1+h-1

Passo 3

Substituindo na expressão do limite, obtemos
raizx^2-1+raizx-1raizx-1 = raiz2h+h^2 + (raiz1+h-1)raizh

Passo 4

Esse quociente separa-se em duas parcelas:
raiz2h+h^2raizh ;+; raiz1+h-1raizh

Passo 5

A primeira parcela simplifica-se assim:
raiz2h+h^2raizh = raizh,raiz2+hraizh = raiz2+h ;xrightarrow[hto0]; raiz2

Passo 6

Para a segunda parcela, racionalizamos:
raiz1+h-1raizh =(raiz1+h-1)(raiz1+h+1)raizh,(raiz1+h+1) =(1+h)-1raizh,(raiz1+h+1) =raizhraiz1+h+1 ;xrightarrow[hto0];0

Passo 7

Somando os limites parciais, o limite total é
raiz2 + 0 = raiz2

Resposta

raiz2

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