Calcule, quando existirem, os limites abaixo:
lim x 0 sen(sen 2 x)x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão pede para calcular:
limx 0 sin(sin 2x)x
Aqui estamos lidando com Funções Trigonométricas e Limites. Para resolver, vamos precisar entender como as funções seno se comportam perto de zero e aplicar algumas propriedades básicas de limites.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro do seno. Sabemos que, quando x é bem pequeno, o seno de um número pequeno é aproximadamente igual a ele mesmo. Ou seja:
sin theta approx theta quando theta 0
Nesse caso, temos sin 2x dentro do primeiro seno. Como x está se aproximando de 0, 2x também está próximo de 0. Então podemos dizer que:
sin 2x approx 2x

Passo 3

Agora, substituímos essa aproximação na expressão original:
sin(sin 2x)x approx sin(2x)x
Mas novamente, como 2x é pequeno, usamos a mesma aproximação para o seno:
sin(2x) approx 2x
Então a expressão fica:
sin(2x)x approx 2xx

Passo 4

Simplificando a fração:
2xx = 2
Então, à medida que x se aproxima de 0, a expressão toda se aproxima de 2.

Resposta

limx 0 sin(sin 2x)x = 2

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