Calcule, quando existirem, os limites abaixo:
lim x 1^+ sen(x^3-1) cos (11-x)raizx-1

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
limxto1^+sinl(x^3-1r),cosl(tfrac11-xr)raizx-1
O conteúdo aqui envolve limites de funções que oscilam e uso do Teorema do Confronto (ou Squeeze Theorem). Vamos precisar de duas ideias principais: a fatoração x^3-1=(x-1)(x^2+x+1) para aproximar sin(x^3-1) quando x está perto de 1, e a desigualdade lvertsin trvert<=lvert trvert.

Passo 2

Observe que para xto1^+ temos
x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)e x^2+x+1to3
Além disso, cosl(tfrac11-xr) oscila entre -1 e 1, mas permanece limitada. Logo para o valor absoluto da expressão original vale
gl|sin(x^3-1),cos(tfrac11-x)raizx-1gr| ;<=; lvertsin(x^3-1)rvertraizx-1 ;<=; lvert x^3-1rvertraizx-1

Passo 3

Usando a fatoração em lvert x^3-1rvert temos
lvert x^3-1rvertraizx-1 =lvert x-1rvert,lvert x^2+x+1rvertraizx-1 =(x^2+x+1),raizx-1
Quando xto1^+, o fator x^2+x+1to3 e raizx-1to0. Então
(x^2+x+1),raizx-1;longrightarrow;3cdot0=0

Passo 4

Pelo Teorema do Confronto, como
0<=l|tfracsin(x^3-1)cos(tfrac11-x)raizx-1r| <= (x^2+x+1)raizx-1
e o limite do lado direito é 0, concluímos que o limite pedido existe e vale 0.

Resposta

0

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