Em cada caso é dada uma mudança de coordenadas
(u, v)=T(x, y). Descreva as retas u=u0 e v=v0 nos dois sistemas de coordenadas (plano x y e plano u v ) para os valores: k=-2,-1,0,1,2. Determine a transformação inversa T^-1.
T(x, y)=(3 x, 5 y)

Passo 1

O enunciado define a mudança de coordenadas linear
Tcolon(x,y)mapsto(u,v)=(3x,5y)
e pede para descrever as retas ,u=k e ,v=k nos dois sistemas de coordenadas (planos xy e uv) para
kin-2,-1,0,1,2,
além de determinar a transformação inversa T^-1. Vamos usar a ideia de imagem e contra-imagem de retas sob a escala dos eixos.

Passo 2

Para cada k, a reta
u = k
no plano uv é uma reta vertical, paralela ao eixo v, que intercepta o eixo u em u=k. A contra-imagem dessa reta no plano xy vem de
u = 3x = k Longrightarrow x = k3
Logo, para k=-2,-1,0,1,2 temos cinco retas verticais no plano xy dadas por
x = -tfrac23,;x = -tfrac13,;x = 0,;x = tfrac13,;x = tfrac23

Passo 3

Analogamente, para cada k, a reta
v = k
no plano uv é uma reta horizontal, paralela ao eixo u, que intercepta o eixo v em v=k. A contra-imagem no plano xy satisfaz
v = 5y = k Longrightarrow y = k5
Assim, para k=-2,-1,0,1,2 obtemos cinco retas horizontais no plano xy dadas por
y = -tfrac25,;y = -tfrac15,;y = 0,;y = tfrac15,;y = tfrac25

Passo 4

Para achar a inversa T^-1, basta resolver
u = 3x, v = 5y
em função de (u,v). Isolando x e y temos
x = u3, y = v5
Portanto,
T^-1colon(u,v)mapstol(tfracu3,tfracv5r)

Resposta

Para k=-2,-1,0,1,2:
– No plano uv, ,u=k são retas verticais em u=k e ,v=k são retas horizontais em v=k.
– No plano xy, ,u=k corresponde a x=k/3 (verticais em x=-tfrac23,dots,tfrac23) e ,v=k corresponde a y=k/5 (horizontais em y=-tfrac25,dots,tfrac25).
A inversa é
T^-1(u,v)=l(tfracu3,,tfracv5r)

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