Calcule, se existirem, os limites a seguir
lim x 0 x sin x1-cos x

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite de xsin x1-cos x quando xto0. O conteúdo aqui é análise de limites de funções, mais especificamente o tratamento de indeterminações do tipo 0/0. Vamos usar o Teorema de l’Hôpital para resolver.

Passo 2

Primeiro, verificamos a forma da expressão ao substituir x=0: o numerador fica 0cdot0=0 e o denominador 1-1=0. Logo temos uma indeterminação 0/0.

Passo 3

Como estamos diante de 0/0, aplicamos o Teorema de l’Hôpital, que diz que
limxto0f(x)g(x)=limxto0f'(x)g'(x), \nse o novo limite existir. Aqui
f(x)=xsin x, g(x)=1-cos x
Derivando,
f'(x)=sin x + xcos x, g'(x)=sin x
Então o limite vira
limxto0xsin x1-cos x=limxto0sin x + xcos xsin x

Passo 4

Agora simplificamos:
sin x + xcos xsin x=sin xsin x+xcos xsin x=1+xcot x
Para terminar, precisamos de limxto0xcot x. Usamos cot x=cos xsin x e a relação clássica limxto0sin xx=1. Então
xcot x = xcos xsin x=xsin xcos x xrightarrow[xto0]1cdot1=1
Logo o limite original é
1+1=2

Resposta

2

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