Calcule as integrais iteradas.
integral-1^2 integral1^x^2 integral0^x+y 2 x^2 y d z d y d x

Passo 1

Estamos calculando a integral tripla iterada
integralx=-1^2 integraly=1^x^2 integralz=0^x+y 2x^2y,dz,dy,dx
Esse é um problema de integrais iteradas, onde vamos aplicar em sequência a integração em z, depois em y e por fim em x, usando o Teorema Fundamental do Cálculo em cada passo.

Passo 2

Primeiro, integramos em z, tratando x e y como constantes. Temos
integral0^x+y 2x^2y,dz = 2x^2y l[zr]0^x+y = 2x^2y,(x+y)

Passo 3

Agora integramos o resultado em y, de 1 até x^{2}:
integral1^x^2 2x^2y,(x+y),dy = 2x^2 integral1^x^2 (x y + y^2),dy
Vamos achar essa integral:
integral (x y + y^2),dy = x y^22 + y^33
Multiplicando por 2x^{2} e avaliando de 1 a x^{2} resulta
x^3y^2 + 23x^2y^3gr|1^x^2 = l(x^7 + tfrac23x^8r) - l(x^3 + tfrac23x^2r)

Passo 4

Por fim, integramos em x de -1 até 2 a função
f(x)=x^7 + tfrac23x^8 - x^3 - tfrac23x^2
A antiderivada é
F(x)=227x^9 + 18x^8 - 14x^4 - 29x^3

Passo 5

Para terminar, avaliamos em x=2 e x=-1 e fazemos a diferença:
F(2)=173227, F(-1)=5216, F(2)-F(-1)=5138

Resposta

tfrac5138

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