Calcule, se existirem, os limites a seguir:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite que envolve duas variáveis,
e
, se aproximando de
. O que temos aqui é um exercício de limites em cálculo multivariável. Para resolver, vamos precisar usar alguns conceitos básicos de funções trigonométricas e exponenciais, além de entender como essas funções se comportam perto de zero.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada no numerador e no denominador separadamente quando
e
se aproximam de 0.
No numerador:
Sabemos que
, então quando
e
são bem pequenos,
e
estão perto de 1.
No denominador:
Aqui,
, então
e
também estarão próximos de 1 quando
e
forem próximos de 0.
Passo 3
Vamos substituir
e
diretamente na expressão para ter uma ideia inicial do que esperar:
Numerador:
Denominador:
Então, a expressão inteira fica:
Passo 4
Para garantir que esse valor é realmente o limite quando
se aproxima de
, precisamos verificar se o limite é o mesmo independentemente do caminho que
toma para chegar a
.
Como as funções
,
,
e
são contínuas e diferenciáveis em todo lugar, especialmente perto de 0, podemos confiar que o comportamento delas é suave e que o limite será o mesmo por qualquer caminho.
Passo 5
Portanto, concluímos que: