Calcule, se existirem, os limites a seguir:
lim (x, y) (0,0)[cos x+cos ye^-x+3 e^y]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite que envolve duas variáveis, e , se aproximando de . O que temos aqui é um exercício de limites em cálculo multivariável. Para resolver, vamos precisar usar alguns conceitos básicos de funções trigonométricas e exponenciais, além de entender como essas funções se comportam perto de zero.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada no numerador e no denominador separadamente quando cos x + cos y e e^-x + 3 e^y se aproximam de 0.
No numerador:
Sabemos que , então quando e são bem pequenos, e estão perto de 1.
No denominador:
Aqui, , então e também estarão próximos de 1 quando e forem próximos de 0.

Passo 3

Vamos substituir cos(0) + cos(0) = 1 + 1 = 2 e e^0 + 3 cdot e^0 = 1 + 3 cdot 1 = 4 diretamente na expressão para ter uma ideia inicial do que esperar:
Numerador:
24 = 12
Denominador:
Então, a expressão inteira fica:

Passo 4

Para garantir que esse valor é realmente o limite quando se aproxima de , precisamos verificar se o limite é o mesmo independentemente do caminho que toma para chegar a .
Como as funções , , e são contínuas e diferenciáveis em todo lugar, especialmente perto de 0, podemos confiar que o comportamento delas é suave e que o limite será o mesmo por qualquer caminho.

Passo 5

Portanto, concluímos que:
lim (x, y) (0,0)[cos x+cos ye^-x+3 e^y] = 12

Resposta

12

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